59 12 In das Rechteck ABCD mit A (–6 | –1), B (4 | –1), C (4 | 5) und D (–6 | 5) ist ein Viereck PQRS so einbeschrieben, das P, Q, R und S jeweils die Seitenmittelpunkte des Rechtecks sind. Es gilt: P X [AB], Q X [BC], R X [CD] und S X [DA]. a) Weise rechnerisch nach, dass PQRS ein Parallelogramm ist. b) Begründe, warum PQRS eine Raute ist. c) Berechne den Flächeninhalt der Raute PQRS. d) Weise nach, dass für jedes beliebige Rechteck gilt: Der Flächeninhalt des so einbeschriebenen Parallelogramms ist stets halb so groß wie der Flächeninhalt des betreffenden Rechtecks. 13 Einem Rechteck ABCD mit ___ AB = 10 cm und ___ BC = 6 cm werden Parallelogramme EnFnGnHn einbeschrieben. Dabei gilt: ___ AEn = ___ BFn = ___ CGn = ____ DHn = x cm a) Zeichne das Rechteck und das Parallelogramm E1F1G1H1 für x = 1. b) Welche Werte für x sind möglich? c) Bestimme den Flächeninhalt der einbeschriebenen Parallelogramme EnFnGnHn in Abhängigkeit von x. d) Für welches x ist der Flächeninhalt minimal? Gib Amin an. e) Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms E2F2G2H2 für x = 1,75. 14 Die Diagonale e eines Drachenvierecks ABCD wird um x cm verkürzt, während die Diagonale f um 2x cm verlängert wird (siehe Bild). a) Zeichne das Drachenviereck ABCD mit e = 12 cm und f = 6 cm und ergänze die Zeichnung für x X {1; 2; 3}. Berechne jeweils den Flächeninhalt der Figuren. Die Lage des Diagonalenschnittpunkts P bleibt unverändert. P ist 3 cm von A entfernt. b) Gib die Defi nitionsmenge für x an, wenn nur konvexe Drachenvierecke betrachtet werden sollen. c) Bestimme den Flächeninhalt der Schardrachenvierecke ABnCnDn in Abhängigkeit von x. d) Überprüfe, ob der Flächeninhalt einen Extremwert besitzt, und bestimme gegebenenfalls den Extremwert und die Belegung für x. e) Für welchen Wert von x erhält man eine Raute? 15 Ein Parallelogramm ABCD mit A (5 | –2), B (2 | 4) und C (x | 3) hat den Flächeninhalt A = 27 FE. Berechne die fehlende x-Koordinate von C sowie die Koordinaten von D. 16 Gegeben ist das Fünfeck ABCDE mit A (6 | 2), B (5 | 4), C (1 | 6), D (–1 | 2) und E (2 | 1). a) Berechne den Flächeninhalt des Fünfecks. Zerlege dafür das Fünfeck von einer Ecke aus in drei Dreiecke. b) Berechne die Koordinaten der Mittelpunkte der Fünfecksseiten. c) Berechne den Flächeninhalt des einbeschriebenen Vielecks, dessen Eckpunkte die Seitenmittelpunkte der Fünfecksseiten darstellen. A B D Gn F n H n E n C Lösung zu 13 c): A (x) = (2x2 – 16x + 60) cm2 CA C 1 D 1 D P e f x x B B 1 x Lösung zu 14 c): A (x) = (–x2 + 9x + 36) cm2 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs