71 Richtig oder falsch? Jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl. Begründe. Erkläre, warum zwischen den rationalen Zahlen 1,6 und 1,7 unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen. 1 Entscheide ohne Taschenrechner, ob der Wert des Terms rational oder irrational ist. a) √ __ 1 b) √ _____ 2 + 3 c) 3 √ __ 2 d) √ ______ 11 + 5 e) √ ___ 20 + 5 f) √ ___ 5 ___ 20 g) √ ____ 1,44 h) – √ __ 4 2 Radiziere. Runde irrationale Zahlen auf zwei Dezimalen. a) √ ___ 15 b) √ ___ 36 c) √ ____ 0,25 d) √ ____ 17 ____100 e) √ ___ 40 f) √ __ 9 __ 4 g) √ __ 3 __ 4 h) √ __ 0 3 Berechne mit dem Taschenrechner und runde auf vier Nachkommastellen. a) √ __ 5 b) √ ___ 23 c) √ ____ 6 · 7 d) √ ___ 12 : √ ___ 13 e) √ __ 1 __ 7 f) √ ___ 17 + √ ____ 54,5 g) √ ________ 12 : 0,25 h) 2,5 · √ ___ 13 ________ √ ____ 169 4 Vergleiche und setze , oder =. a) √ __ 5 √ __ 6 b) 1,5 √ __ 3 c) √ ___ 10 ( √ ___ 10 ) 2 d) √ _____ 25,25 5 e) 12 ___ 7 √ __ 3 f) 3 1 __ 3 √ ___ 11 g) √ _____ 27,04 5,2 h) √ __ 1 __ 9 √ __ 1 __ 3 Versuche, Quadratzahlen zu erkennen. Welche Aufgaben kannst du im Kopf lösen? Beweis der Irrationalität von √ __ 2 Mithilfe eines „Widerspruchsbeweises“ kann man zeigen, dass √ __ 2 keine rationale Zahl ist. Dabei nimmt man zunächst an, dass √ __ 2 eine rationale Zahl ist, und führt diese Annahme zu einem Widerspruch. Annahme: √ __ 2 ist rational, d. h. √ __ 2 lässt sich als Bruch schreiben: √ __ 2 = p __ q mit q ≠ 0. Folgerungen aus der Annahme: Quadrieren ergibt: 2 = p2 __ q2 Umformung zu: p2 = 2 · q2 Zerlegung von p und q in Primfaktoren: p = p1 · p2 · p3 · … · pn; q = q1 · q2 · q3 · … · qm p1 2 · p2 2 · p3 2 · … · pn 2 = 2 · q1 2 · q2 2 · q3 2 · … · qm 2 Betrachte die Anzahl der Primfaktoren: Der Linksterm hat durch das Quadrieren eine gerade Anzahl an Primfaktoren, der Rechtsterm jedoch wegen des Faktors 2 eine ungerade Anzahl an Primfaktoren. Widerspruch: Das kann nicht sein, da die Primfaktorzerlegung einer Zahl stets eindeutig ist. Somit kann die Annahme, dass √ __ 2 eine rationale Zahl ist, nicht stimmen: √ __ 2 ist irrational. • Übertrage die Umformungen in dein Heft und beschreibe sie mit eigenen Worten. • Zeige auf gleiche Weise, dass √ __ 3 ebenfalls eine irrationale Zahl ist. Erinnere dich: Jede natürliche Zahl lässt sich ein deutig als Produkt von Primzahlen schreiben. Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs