77 10 Vereinfache durch teilweises Radizieren. Finde den Weg vom Start zum Ziel. 11 Brüche werden in der Mathematik meist ohne Wurzeln im Nenner geschrieben. Beachte die binomischen Formeln. Lösungen zu 11 b): 8 __ 5√ __ 5 ; – 1 __ 3 √ __ 3 ; –3 ( 2 – √ __ 7 ) ; 3 √ __ 2 ; – 10 + √ ___ 91 ________3 ; 4 + 2 √ __ 7 _______–3 ; √ __ 7 ___ 7 ; 3 + √ ___ 33 _______–4 ; 1 __ 3 √ ___ 15 ; 4 __ 5 √ ___ 15 Wurzelschnecke a) Begründe, warum Summenterme im Nenner nur durch die 3. und nicht durch die 1. oder 2. binomische Formel rational gemacht werden können. b) Mache den Nenner rational und vereinfache so weit wie möglich. 1 1 ___ √ __ 7 2 8 ___ √ __ 5 3 12 ____ √ ___ 15 4 5 ____ √ ___ 15 5 24 ____ √ ___ 32 6 √ __ 4 _______ √ __ 4 – √ __ 7 7 √ ___ 12 ________ √ __ 3 – √ ___ 11 8 9 ______ 2 + √ __ 7 9 √ __ 7 + √ ___ 13 ________ √ __ 7 – √ ___ 13 10 1 ___ √ __ 3 – 4 ____ √ ___ 12 12 Mache den Nenner rational und vereinfache, falls möglich. a) 3 ___ √ __ x b) √ __ 5 ______ √ ____ 6 – c c) a – b _______ √ __ a + √ __ b d) a _________ √ ___ 3a – √ ___ 2a e) 24 ____ √ ___ 32 f) √ __ 4 _______ √ __ 4 – √ __ 7 g) 8b __________ √ ____ 11b – √ ___ 7b h) √ ___ 5x – 3 √ ___ 2y ___________ √ ____ 20x + 4 √ ___ 8y i) √ __ x – √ __ y _________ √ ___ 4x + √ ___ 5y j) 3x – 4 √ __ y _______ 3x + 4 √ __ y 13 Vereinfache so weit wie möglich. Bestimme die Lösungsmenge in = . a) (4x + 1)2 – (5x – 2)2 = 13x – 15 · (2 – x) b) (5x – 3) · (2x – 1) – 16x2 + 1 = x – (x + 6)2 c) (3x – 4)2 + (2x – 5)2 = (7 – 3x) · (8 – 6x) + 22x d) (x + 3)2 + (x – 3)2 = (x + 3) · (x – 3) + 31 e) (x + 3) · (x – 4) + (x + 4) · (x – 3) = 8 f) (x + 3)2 – (x – 3)2 + 45 = (2x + 3)2 g) (2x – 3) · (x + 4) – (x – 0,5)2 = 6x + 8 14 Strecken der Längen √ __ 2 LE, √ __ 3 LE, ... kann man näherungsweise mit einer „Wurzelschnecke“ ermitteln. Dabei geht man von einem gleichschenklig, rechtwinkligen Dreieck mit der Schenkellänge von 1 LE aus. a) Übertrage die Wurzelschnecke in dein Heft (1 LE 1 cm) und setze sie um drei Schritte fort. Markiere die irrationalen Längen. b) Bestimme den Flächeninhalt der abgebildeten Wurzelschnecke (der Wurzelschnecke in deinem Heft) auf zwei Nachkommastellen genau. Nenner von Brüchen lassen sich durch Erweitern rational machen. Beispiele: 1 3 ___ √ __ 5 = 3 · √ __ 5 _______ √ __ 5 · √ __ 5 = 3 · √ __ 5 _____5 = 3 __ 5 √ __ 5 2 7 _______ √ __ 7 – √ __ 2 = 7 · ( √ __ 7 + √ __ 2 ) _________________ ( √ __ 7 – √ __ 2 ) · ( √ __ 7 + √ __ 2 ) = 7 · ( √ __ 7 + √ __ 2 ) ___________ 7 – 2 = 7 __ 5 · ( √ __ 7 + √ __ 2 ) 1 1 1 1 1 √ __ 2 √ __ 3 √ __ 4 √ __ 5 5a2bc √ ____ 7ac Start 5a3 √ ___ 2a a __ b2 · √ ___ 2a ___ 3b 1 __ 2 · √ __ 2 3a √ ___ 3a √ ____ 27a3 √ _______ 3a3 · 2b4 ________ √ _______ 4a3 · 3b4 a · √ __ 5 a 2 ___ 2b2 · √ ____ 89a ____ 7b √ _____ 18a3b _______ √ ____ 27b6 √ ___ 5a2 √ _________ 80a5 + 9a5 __________ √ ________ 2b2 · 14b3 √ _________ 21a7 + 29a7 Ziel √ ________ 175a5b2c3 Alle Variablen stehen für positive rationale Zahlen. Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs