89 II Um eine Jeans aufzuhängen, werden aus einem mit drei blauen, zwei roten und einer weißen Wäscheklammer gefüllten Beutel ohne hinzusehen zwei Klammern gleich zeitig entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine (keine) der Klammern blau ist? Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der Klammern blau ist, ist 1 __ 5 + 1 __ 5 + 1 ___ 10 + 1 __ 5 + 1 ___ 10 = 4 __ 5 = 80 %, die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Klammern blau ist, beträgt 1 ___ 15 + 1 ___ 15 + 1 ___ 15 = 1 __ 5 = 20 % bzw. 1 – 4 __ 5 = 1 __ 5 . III Aus einer Lieferung gleich aussehender Kuckucksuhren wird eine Uhr zufällig entnommen. Die Lieferung besteht aus 95 % Originalen und 5 % Fälschungen, welche äußerlich nicht voneinander unterscheidbar sind. 80 % der Originale und 60 % der Fälschungen funktionieren jeweils, die anderen sind defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die entnommene Uhr defekt? Lösung: Die entnommene Uhr ist mit der Wahrscheinlichkeit 0,95 · 0,2 + 0,05 · 0,4 = 0,21 = 21 % defekt. Beachte als Vorstellung: Wenn die erste Klammer gezogen ist, sind nur noch fünf Klammern im Beutel. Äste mit der Wahrscheinlichkeit 0 werden in der Regel nicht gezeichnet. Ist E das Gegenereignis des Ereignisses E, so gilt: P (E ) = 1 – P (E) Stell dir vor, dass die Lieferung 100 Uhren umfasst. Davon sind 95 Uhren Originale und fünf Uhren Fälschungen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig entnommene Uhr ein Original ist, beträgt somit 95 %. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem Punkt im Baumdiagramm ausgehen, ist stets 1. Erkläre mit eigenen Worten, was man unter der Pfadmultiplikationsregel (Pfadadditionsregel) bei Baumdiagrammen versteht. Angenommen, eine Münze wird zweimal (dreimal, viermal, n-mal mit n X , n 2) nacheinander geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man dabei zweimal (dreimal, viermal, n-mal) Zahl als Ergebnis? Erläutere. 3 6 2 5 2 5 2 5 1 5 3 5 3 5 1 5 1 5 2 6 1 6 Blau Weiß Blau Rot Rot Weiß Blau Rot Weiß Weiß0 Blau Rot Fälschung 0,05 0,40,2 0,95 0,8 0,6 funktioniert funktioniertdefekt defekt Original P (Blau, Blau) = 3 __ 6 · 2 __ 5 = 6 ___ 30 = 1 __ 5 P (Blau, Rot) = 3 __ 6 · 2 __ 5 = 6 ___ 30 = 1 __ 5 P (Blau, Weiß) = 3 __ 6 · 1 __ 5 = 3 ___ 30 = 1 ___ 10 P (Rot, Blau) = 2 __ 6 · 3 __ 5 = 6 ___ 30 = 1 __ 5 P (Rot, Rot) = 2 __ 6 · 1 __ 5 = 2 ___ 30 = 1 ___ 15 P (Rot, Weiß) = 2 __ 6 · 1 __ 5 = 2 ___ 30 = 1 ___ 15 P (Weiß, Blau) = 1 __ 6 · 3 __ 5 = 3 ___ 30 = 1 ___ 10 P (Weiß, Rot) = 1 __ 6 · 2 __ 5 = 2 ___ 30 = 1 ___ 15 P (Weiß, Weiß) = 1 __ 6 · 0 = 0 1 Gonzales hat in seiner Hosentasche zwei Bonbons mit Zitronenund eines mit Orangengeschmack. Er greift hinein und zieht zwei Bonbons gleichzeitig heraus. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben beide Zitronengeschmack? b) Gib ein Ereignis an, das mit der Wahrscheinlichkeit 0 (1) eintritt. Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs