100 4.9 Vertiefung: Flächeninhalt von beliebigen Dreiecken In einem Dreieck ABC mit zwei gegebenen Seitenlängen und dem Winkelmaß des von diesen Seiten eingeschlossenen Winkels gilt für den Flächeninhalt: A = 1 __ 2 b · c · sin α = 1 __ 2 a · c · sin β = 1 __ 2 a · b · sin γ Im Internet kann man Sonnensegel bestellen, die man im Garten als Schattenspender aufspannen kann. Ein Händler bietet dabei ein Segel in Form eines gleichseitigen Dreiecks mit einer Seitenlänge von 4,5 m an. • Skizziere das Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Dreiecke. • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks auf zwei verschiedene Arten, indem du … 1 den Sinussatz verwendest. 2 den Satz des Pythagoras nutzt. I Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. Lösung: A = 1 __ 2 ac · sin β A = 1 __ 2 · 8 cm · 12 cm · sin 58° A 40,7 cm2 II Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit a = 12,3 cm, b = 8,4 cm und c = 6,5 cm. Lösung: Bestimmen eines Winkelmaßes mithilfe des Kosinussatzes: b2 = a2 + c2 – 2a · c · cos β cos β = – b2 – a2 – c2 ________2ac cos β = – (8,4 cm) 2 – (12,3 cm)2 – (6,5 cm)2 _________________________ 2 · 12,3 cm · 6,5 cm 0,77 β 39,6° A = 1 __ 2 a · c · sin β A = 1 __ 2 · 12,3 cm · 6,5 cm · sin 39,6° 25,5 cm 2 A C Bc b a α β γ Beschreibe die Flächeninhaltsformeln für Dreiecke mit eigenen Worten. Zeige, wie man aus der Flächeninhaltsformel für beliebige Dreiecke den Spezialfall für rechtwinklige Dreiecke erhält: A = 1 __ 2 g · h. a = 12 cm c = 8 cm b α γβ = 58° B C A