102 4.10 Vermischte Aufgaben 1 Löse die Gleichungen für alle Winkelmaße α X [0°; 180°]. Fertige zunächst eine Skizze des Einheitskreises an. Entscheide damit, wie viele Lösungen es gibt. a) cos α = 0,50 b) sin α = 0,75 c) tan α = 1 d) tan α = –0,80 e) cos α = –0,80 f) sin α = 0,45 g) cos α = –1 h) sin α = 0 i) cos α = –0,35 j) tan α = 3 k) cos α = +1 l) –sin α = –0,05 2 Löse die Gleichungen für Winkelmaße α X [0°; 180°]. Nutze eine Skizze, um die Anzahl der Lösungen zu bestimmen. a) cos (2α – 20°) = 0,50 b) sin (4α – 20°) = 0,75 c) tan (2α + 60°) = 1,8 d) sin (3α) = 0,66 e) cos (2α + 45°) = –0,20 f) sin (0,5α + 10°) = 0,45 3 Zeige, dass folgende Aussagen richtig sind. a) 1 + (cos α)2 = 2 – (sin α)2 b) 1 + 4 (cos α)2 – 5 (sin α)2 = –9 (sin α)2 + 5 c) 1 + 2 (cos α)2 + (sin α)2 = 3 – (sin α)2 d) 3 – (cos α)2 – 2 (sin α)2 = 2 (cos α)2 + (sin α)2 4 a) Berechne im rechtwinkligen Dreieck ABC mit der Hypotenuse [AB] die Innenwinkelmaße. Es gilt: ___ AC = 2,4 LE und A = 12 FE. b) Berechne im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° die Innenwinkelmaße. Für die beiden Katheten gilt: a = 4 √ __ 3 cm und b = 4 cm. 5 Im gleichschenkligen Dreieck ABC gilt: ___ BC = ___ CA; ___ AB = 6,4 cm und α = 64° a) Konstruiere das Dreieck ABC (Planfi gur, Zeichnung, Beschreibung). b) Berechne die Schenkellängen des Dreiecks. c) Bestimme auf zwei verschiedene Arten den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. 6 Berechne fehlende Werte des Dreiecks ABC. Runde auf eine Nachkommastelle. 7 Im Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen (a, b, c, α, β, γ, h c , A) sind jeweils drei Maße gegeben. Konstruiere die Dreiecke und berechne die fehlenden Größen. a) a = 3,7 m; c = 9,0 m; β = 45° b) h c = 2,3 cm; c = 8 cm; α = 25° c) b = 6 cm; α = 35°; c = 8,9 cm d) c = 9,4 cm; a = 7 cm; γ = 90° 8 Berechne die Steigungswinkel der zugehörigen Gerade im Koordinaten system. Zeichne die Gerade und überprüfe durch Messung. a) y = 2,5x + 3,6 b) 5y = x + 5 c) y = 3 __ 4 x – 1,2 a b c α β γ a) 92 cm 84 cm 90° b) 0,9 m 2,1 m 90° c) 0,8 km 54,5° 90° d) 29,7 cm 21,2 cm 90° Lösungen zu 6: 0,6; 1,0; 1,9; 24,1; 25,4; 35,5; 37,5; 44,5; 45,5; 64,6; 65,9; 20,9 Die Einheiten sind nicht angegeben. Steigungswinkel x y A ah c b c BH C