98 4.8 Berechnungen in beliebigen Dreiecken – der Kosinussatz Beachte den Zusammenhang von Seite 90: (sin α)2 + (cos α)2 = 1 Wenn bei einem Dreieck ABC zwei Seiten längen und die Größe des eingeschlossenen Winkels gegeben sind, dann lässt sich die dritte Seitenlänge mithilfe des Kosinussatzes berechnen: a2 = b2 + c2 – 2bc · cos α b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β c2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ Für den Fall, dass drei Seitenlängen und kein Innenwinkelmaß gegeben sind, kann man ein Winkelmaß durch Umstellen der Gleichungen berechnen. Mit der Idee der Herleitung des Sinussatzes lassen sich auch Zusammenhänge zwischen den Kosinuswerten der Winkelmaße und den Seitenlängen in einem beliebigen Dreieck ABC fi nden. • Begründe, dass der Sinussatz nicht anwendbar ist, wenn ein Dreieck nach den Kongruenzsätzen SSS und SWS festgelegt ist. • Erläutere die folgende Herleitung. cos α = s __ b s = b · cos α t = c – b · cos α sin α = hc __ b h c = b · sin α Nach Pythagoras gilt im ΔCDB: a2 = h c 2 + t2 a2 = (b · sin α)2 + (c – b · cos α)2 = b2 · (sin α)2 + c2 – 2bc · cos α + b2 · (cos α)2 = b2 · ( (sin α)2 + (cos α)2 ) + c2 – 2bc · cos α a2 = b2 + c2 – 2bc · cos α • Zeige ebenso die folgenden Zusammenhänge: 1 b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β 2 c2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ I Bestimme im Dreieck ABC mithilfe des Kosinussatzes die Seitenlänge b ( = ). Lösung: b2 = a2 + c2 – 2ac cos β b2 = (12 cm)2 + (8 cm)2 – 2 · (12 cm · 8 cm) · cos 58° b2 = 208 cm2 – 192 cm2 · cos 58° b = √ _______________ 208 – 192 · cos 58° cm 10,3 cm b a A c B C α β γ A D C Bc b s t a α β h c a = 12 cm c = 8 cm b α γβ = 58° B C A Felix behauptet, dass der Kosinussatz für einen gesuchten Winkel im Dreieck stets eindeutige Lösungen liefert. Hat er Recht? Begründe. „Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes.“ Was meinst du dazu?