96 4.7 Berechnungen in beliebigen Dreiecken – der Sinussatz Das Bild zeigt ein altes Problem in der Landvermessung von unzugänglichen Stellen (hier Flussbreite ___ AB): In einem zugänglichen Bereich wird eine Strecke abgesteckt und deren Länge vermessen. Anschließend peilt man von den Endpunkten der Strecke den nicht zugänglichen Punkt an und bestimmt die entstandenen Winkelmaße (in der Zeichnung β und γ). • Begründe, weshalb man die gesuchten Längen nicht direkt mittels Sinus, Kosinus oder Tangens bestimmen kann. • Übertrage das Dreieck im Maßstab 1 : 100 in dein Heft und konstruiere die Höhe h a und den Höhenfußpunkt H. • Beschreibe ein Vorgehen, wie du mithilfe der Teildreiecke BHA und HCA die Streckenlängen ___ AB und ___ AC bestimmen kannst. 50° A γ β b = 5, 0 cm a = 7,0 cm B C c Zerlegt man ein beliebiges Dreieck entlang einer Höhe in zwei Teildreiecke, so kann man die bekannten Zusammenhänge erkennen: Diesen Zusammenhang nennt man Sinussatz: a ____ sin α = b _____ sin β = c ____ sin γ I Berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelmaße im Dreieck ABC. Lösung: ΔABC ist konstruierbar nach SsW. 1 sin β ____ b = sin α ____ a sin β = b · sin α ____ a sin β = 5,0 cm · sin 50° ______7 cm β 33,2° 2 γ = 180° – 50° – 33,2° = 96,8° 3 c ____ sin γ = a ____ sin α c = sin γ · a ____ sin α c = sin 96,8° · 7,0 cm ______ sin 50° 9,1 cm II Zeige, dass auch für stumpfwinklige Dreiecke ABC der Sinussatz gilt: a ____ sin α = b ____ sin β . Lösung: CAD = α* = 180° – α Im Dreieck CDA gilt: h c = b · sin (180° – α) = b · sin α Im Dreieck CDB gilt: h c = a · sin β b · sin α = a · sin β a ____ sin α = b ____ sin β Mithilfe der Supplementbeziehung ergibt sich für β eine zweite Lösung: β 180° – 33,2° = 146,8°. Diese Lösung entfällt hier jedoch, da die Winkelsumme im Dreieck sonst überschritten wäre. In anderen Fällen kann durchaus diese „zweite Lösung“ richtig sein, oder auch beide Lösungen. Erinnere dich: α* ist der Außenwinkel zu α: α + α* = 180° A B C c b a α β h c γ 1 sin α = hc __ b h c = b · sin α 2 sin β = hc __ a hc = a · sin β Gleichsetzen der Terme liefert: a · sin β = b · sin α bzw. a ____ sin α = b ____ sin β A αα* β D c a bh c B C A B 74 m C β = 75° γ = 68°