94 4.6 Besondere Winkelmaße für Sinus, Kosinus und Tangens • Zeichne mit einem dynamischen Geometrieprogramm einen Einheitskreis. Finde im I. Quadranten denjenigen Punkt P auf der Kreislinie, bei dem die Halbgerade [OP einen Winkel von α = 45° mit der positiven x-Achse einschließt. Verlängere die Halbgerade so, dass sie einen Schnittpunkt T mit der Tangente an den Einheitskreis durch S (1 | 0) besitzt. • Begründe geometrisch, dass gilt: tan 45° = 1. • Erkläre geometrisch die Zusammenhänge der Sinusund Kosinuswerte für α = 30° und α = 60° mit den Termen √ __ 2 bzw. √ __ 3 . Die Berechnung von Streckenlängen und Winkelmaßen in gleichschenkligen Dreiecken kann man auf die Berechnung in rechtwinkligen Dreiecken zurückführen. Dazu zerlegt man das gleichschenklige Dreieck durch die Symmetrieachse in zwei rechtwinklige Dreiecke. Im I. Quadranten ergeben sich folgende Werte: α 0° 30° 45° 60° 90° sin α 0 1 __ 2 1 __ 2 √ __ 2 1 __ 2 √ __ 3 1 cos α 1 1 __ 2 √ __ 3 1 __ 2 √ __ 2 1 __ 2 0 tan α 0 1 __ 3 √ __ 3 1 √ __ 3 nicht defi niert I Begründe geometrisch: tan 60° = √ __ 3 . Lösung: Betrachte in der Abbildung die Darstellung von tan 60° am Einheitskreis. Wenn man das Dreieck OST an ST spiegelt, entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 2 LE. Der Wert tan 60° wird durch die Höhe h dieses Dreiecks angegeben: h2 = (2 LE)2 – (1 LE)2 = 3 LE2 h = tan 60° = √ __ 3 LE II Berechne den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit Basis [AB] mit c = 4,0 cm und β = 64°. Lösungsmöglichkeit: Zerlegung entlang von h c in zwei rechtwinklige Teildreiecke 1 Bestimmung der Höhe hc: tan β = hc __ c __ 2 h c = c __ 2 · tan β hc = 2,0 cm · tan 64° 4,1 cm 2 Bestimmung des Flächeninhalts: A Dreieck = 1 __ 2 c · hc ADreieck = 1 __ 2 · 4,0 cm · 4,1 cm = 8,2 cm 2 b A B C h c a α β c__ 2 c __ 2 γ __ 2 γ __ 2 0,5 0,5 1,0 60° 30° P T C S h = tan 60° 1,5 2 x 1,0 1,5 2 y O O P T sin 45° cos 45° α β tan 45° 1 x 1 y 0 0 0,5 0,5 P 60° sin 60° cos 60° α β 1 x 1 y