Grundwissen Lineare Gleichungen 22 Bestimme die Lösungsmenge in , und . a) 4x + 5x · 2 · (x – 6) = 10 · x2 + 7x + 3 b) 2 __ 3 a – 4a + 5 = 2 – 1 __ 2 a + 8 c) 16 · ( 3 __ 4 c + 2c + 6 ) = 8 d) 2 · (5x – 7) + 47 = 5 · (3x + 8) – 12 23 Auf einem Teppich-Basar wird gefeilscht. Schließlich einigt man sich: Der Händler möchte 1200 f und lässt x % nach, der Käufer bietet 800 f und legt x % zu. Berechne den Preis des Teppichs. Gleichungen, die die Variable in der ersten Potenz enthalten, heißen lineare Gleichungen. Die Grundmenge gibt an, welche Zahlen für die Variable eingesetzt werden dürfen. Die Lösungsmenge gibt die Zahlen aus an, die man für die Variable einsetzen kann, damit eine wahre Aussage entsteht. Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung kann man durch Äquivalenzumformungen erhalten. 1 Zusammenfassen und ordnen von Summanden mit Variablen auf der einen Seite und Summanden ohne Variablen auf der anderen Seite der Gleichung 2 Durch den Koeffi zienten der Variablen dividieren liefert die Lösung 3 Lösungsmenge angeben Lineare Gleichungssysteme 24 Löse zeichnerisch ( = ). a) I 2x – y = 3 b) I x = y + 3 II 3x – 5y = 1 II y = 1 __ 2 · (2x – 6) c) I x – 2y = 3 d) I y – 0,7x = 1 II 3,8y – 1,9x = –2 II x + 2,5y = 16,25 25 Bestimme die Lösungsmenge mit einem Verfahren deiner Wahl ( = ). a) I 3y + 9x + 15 = 0 b) I x = 5y – 27 II 2x = 45 – 4y II 3y = 1 __ 2 · (3x – 9) c) I x + 1,5y = –19 d) I 4 __ 7 x – 1 = –y II 8x – 1,5y = 10 II 2x = 7 __ 2 · (1 – y) 26 In einem rechtwinkligen Dreieck stehen die Längen der Katheten im Verhältnis 3 : 1. Verlängert man beide Katheten um jeweils 2 cm, dann nimmt der Flächeninhalt um 10 cm2 zu. Wie lang sind die Katheten? 27 Die Notenverteilung einer Schulaufgabe der 10. Klasse mit 28 Schülern ist unvollständig. Bestimme die fehlenden Anzahlen, wenn der Notendurchschnitt 3,25 beträgt. Sollen Zahlenpaare (x | y) zwei lineare Gleichungen gleichzeitig erfüllen, so spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Es gibt drei Fälle: 1 genau 2 keine 3 unendlich viele eine Lösung Lösung Lösungen Rechnerische Verfahren: Einsetzungsverfahren Löst man eine der Gleichungen nach einer Variable (z. B. y) auf, dann kann man diesen Term in die andere Gleichung einsetzen. Gleichsetzungsverfahren Löst man beide Gleichungen nach einer Variable (z. B. y) auf, dann kann man die Terme gleichsetzen. Additionsverfahren Man addiert beide Gleichungen, wenn vor einer Variable betragsgleiche Koeffi zienten stehen, die ein unterschiedliches Vorzeichen haben. 1 1 2 3 y x2 x 1 2 3 y 2 1 x 1 1 2 3 y 2 Note 1 2 3 4 5 6 Anzahl 1 6 7 0 10