Grundwissen Binomische Formeln 8 Wende die binomischen Formeln an ( = ). a) (x – 0,5)2 b) ( y + 2 __ 3 ) 2 c) (2 + x2)2 d) (2a2 – 1)2 e) (11x – 14y) · (11x + 14y) 9 Faktorisiere. a) 3x2 + 24x + 48 b) 10x2 – 30x + 22,5 Mithilfe der binomischen Formeln lassen sich bestimmte Terme umformen. 1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 3 (a + b) · (a – b) = a2 – b2 Extremwerte von quadratischen Termen 10 Bestimme den Extremwert des quadratischen Terms. Gib an, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt ( = ). a) T (x) = 2 · (x – 3)2 b) T (x) = 1,5x2 + 1 c) T (x) = (x + 4)2 + 1 d) T (x) = 7 – (x – 4)2 11 Ein quadratischer Term hat an der Stelle x = –1 ein Maximum mit dem Wert 7. Gib einen möglichen Term an. Terme der Form ax2 + bx + c (a 0) nennt man quadratische Terme. Sie haben stets einen Extremwert, den man mit Wertetabellen bestimmen kann. Es gilt: a 0: Minimum T min a 0: Maximum T max Quadratische Terme kann man stets so quadratisch ergänzen, dass man sie mit binomischen Formeln umformen kann. Der Extremwert ist dann direkt ablesbar. Bruchterme und Bruchgleichungen 12 Fasse zusammen und vereinfache, wenn möglich ( = ). a) 1 _____ a2 – 1 · a + 1 ____ 1 b) 3 ______ (x + 3)2 · x 2 – 9 _____ 6 c) 3 ____ x + 2 · x2 – 4 _____ 5 d) 2x + 6 _____3x – 9 · 5x –3 ______ 24 + 8x e) 5x ________ x2 – 6x + 9 · x 2 – 9 _____ x2 f) y2 – 4 _____ 9 – y2 · 2y – 6 _____4 + 2y g) x – 2 ____ x : x + 2 ____ x h) y ____ y + 1 – (y + 1)(y – 1) __________ y2 – y i) 1 ____ x – 1 + 2 _______ x · (x – 1) j) x3 (1 – x) _______x : x – 1 ____ (2x)2 k) (x + 0,5)2 _______0,5x – 2x l) 1 – x ____ x – 1 – x2 _____ x2 + 1 __ x 13 Gib an und bestimme die Lösungsmenge ( = ). a) 3 ____ x – 2 = –8 ____ x + 5 b) –2x _____ 3x + 1 = 4x + 4 _____ –6x c) 2x – 3 _____2x = x – 1,5 ______x – 1 d) 2x _______ 0,25x – 1 = 8x + 8 _____x + 1 e) x ____ x – 5 = 5 ____ x – 5 f) x + 1 ____2 – x = –3 ____ x – 2 14 Ein Lkw fährt einen Aushub von 405 m3 in x Fahrten zur Deponie. Ein anderer Lkw braucht dazu 9 Fahrten weniger. Zusammen schaffen beide Lkw den Aushub in je 20 Fahrten. Berechne die Anzahl der Fahrten und die Ladekapazität der Lastwagen. Terme, die im Nenner wenigstens eine Variable enthalten, nennt man Bruchterme. Die Defi nitionsmenge eines Bruchterms bezüglich seiner Grundmenge ist die Menge aller Elemente aus , für die der Nenner nicht null wird. Beispiel in = : 2 ____ x + 5 = \ {–5} Beim Rechnen mit Bruchtermen gelten dieselben Regeln wie beim Rechnen mit Brüchen. Addition und Subtraktion von Bruchtermen • Ungleichnamige Bruchterme gleichnamig machen • Gleichnamige Bruchterme: Zähler addieren (subtrahieren), Nenner beibehalten Multiplikation und Division von Bruchtermen • Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren • Durch einen Bruchterm dividiert man, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert. Gleichungen, die wenigstens einen Bruchterm enthalten, nennt man Bruchgleichungen. Man löst Bruchgleichungen, indem man zunächst die Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner multipliziert. Dabei müssen alle Bruchterme defi niert sein. 8