114 5.2 Oberfläche von Pyramide und Kegel Bild 1 zeigt einen Kreiskegel mit Grundfl äche A G und Mantelfl äche A M . Beschreibe die Bilder 2 , 3 und 4 . • Erzeuge die Mantelfl äche eines Kegels durch Abrollen. Zerschneide die Mantelfl äche des Kegels in „Tortenstücke“ und lege Bild 4 nach. • Wie kannst du die Größe der Mantelfl äche des Kreiskegels berechnen? • Aus welchen Teilfl ächen besteht die Mantelfl äche einer Pyramide (Bild 5 )? • Erkläre, wie du die Mantelfl äche einer Pyramide berechnen würdest. I Viele Biogasanlagen haben kegelförmige Dächer. Berechne den Flächeninhalt eines solchen Daches. Der Durchmesser beträgt 10 m, die Länge der Mantellinie 5,4 m. Lösung: A M = π · r · s A M = π · 5 m · 5,4 m 84,8 m2 Das Dach hat einen Flächeninhalt von etwa 85 m2. II Manche Zelte haben (annähernd) die Form einer quadratischen Pyramide. Berechne den Flächeninhalt der benötigten Zeltplane für Boden und Seitenfl ächen. h a = √_______ h2 + ( a __ 2 ) 2 h a = √_______ s2 – ( a __ 2 ) 2 s = √________ ha2 + ( a __ 2 ) 2 Die Mantelfl äche einer Pyramide besteht aus Dreiecken. Wenn die Pyramide gerade ist, sind die Dreiecke gleichschenklig. Für die Berechnung der Oberfl äche O einer Pyramide oder eines Kreiskegels mit der Grundfl äche A G und der Mantelfl äche A M gilt: O = A G + A M . Für die n-eckige gerade Pyramide gilt: O Pyramide = A G + n · A Dreieck Für den Kegel gilt: O Kegel = π · r2 + π · r · s = πr · (r + s) A M S1 5 A M A G A G s π · r Mantelfläche A M s b = 2 · π · r S r s b = 2 · π · r S2 3 4 2 3 4 5 6 1 3 5 2 4 6 1 1 r μμ rA G A G a a Mantelfläche A M Körperhöhe h h h h a ss Seitenkante / Mantellinie s Grundfläche A G Seitenhöhe h a s = 2,4 m a = 2,1 m h a s a 2 Lösung: h a 2 = s2 – ( a __ 2 ) 2 h a = √_______ s2 – ( a __ 2 ) 2 h a = √_______________ (2,4 m)2 – ( 2,1 m _____2 ) 2 2,16 m A G = (2,1 m)2 = 4,41 m2 A M = 4 · A Dreieck = 4 · 1 __ 2 · a · ha A M = 2 · 2,1 m · 2,16 m 9,07 m2 O Zelt = 4,41 m2 + 9,07 m2 = 13,48 m2