116 5.3 Volumen von Prisma und Zylinder Ein dreiseitiges gerades Prisma mit dem Dreieck ABC als Grundfl äche A G wird durch zwei ebene Schnitte senkrecht zu A G zerlegt. Dabei werden [AC] und [BC] halbiert. • Erkläre, dass für das Volumen eines dreiseitigen Prismas gilt: V Prisma = A G · h. I Berechne jeweils das Volumen der Körper. a) b) Lösung: a) V = π · r2 · h V = π · (13 cm)2 · 80 cm V 42 474 cm3 42,5 dm3 Jedes n-seitige Prisma lässt sich in n – 2 Dreiecke zerlegen. Da alle diese dreiseitigen Prismen dieselbe Höhe h haben, gilt für das Volumen: V Prisma = A 1 · h + A 2 · h + ... + A n – 2 · h = (A 1 + A 2 + ... + A n – 2 ) · h = A G · h V Prisma = A G · h Ein reguläres n-Eck kann man durch fortgesetzte Verdopplung der Ecken einem Kreis annähern. Eine entsprechende Annäherung ergibt sich vom Prisma zum Zylinder mit einem solchen n-Eck als Grundfl äche. V Zylinder = A G · h Mit welcher Flächenformel musst du rechnen, wenn die Grundfl äche A G eines Prismas ein Trapez (Parallelogramm, Drachenviereck) ist? Wie ändert sich das Volumen eines Zylinders, wenn du nur die Höhe h (die Grundfl äche A G , den Radius r) verdoppelst? 40 cm 4 9 c m 13 5 cm 72 cm h ist die Höhe des Prismas. Auf der Themenseite (S. 134) kannst du diese Sichtweise vertiefen. GrundrissSchrägbild A B A B M A B C G 2 G 3G 1 80 cm 26 cm Lösung: b) V Prisma = A G Trapez · h = ( a + c ____ 2 ) · h Trapez · h V = ( 40 cm + 72 cm ___________2 ) · 49 cm · 135 cm 370 dm3