126 5.8 Funktionale Abhängigkeiten Einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfl äche soll ein Quader wie in der Skizze dargestellt einbeschrieben werden. • Beschreibe die Form des Quaders. • Beschreibe, wie sich die Höhe des Quaders in Abhängigkeit von seiner Breite ändert. Welche „Randwerte“ sind möglich? • Begründe, dass es unter den Quadern einen gibt, der maximales Volumen aufweist. I Einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfl äche ABCDS mit Grundkantenlänge a = 60 cm und Höhe h = 120 cm soll ein Quader (Breite und Länge je x cm) wie in der Skizze dargestellt ein beschrieben werden. Stelle die Höhe h’ des Quaders in Abhängigkeit von x dar. Gib die Defi nitionsmenge für x an. Lösung: h’ __ h = ___ AP ___ ___ AM h’ ______ 120 cm = 30 cm – x cm ____ 2 __________30 cm h’ = 4 · ( 30 cm – x cm ____ 2 ) = 2 (60 – x) cm = ]0; 60[ II Einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfl äche und Grundkantenlänge a = 6 cm und Höhe h 0 = 6 cm ist ein Zylinder einbeschrieben. Stelle für 0 x 3 den Mantelfl ächeninhalt M (x) und das Volumen V (x) des Zylinders in Abhängigkeit vom Radius r = x cm dar. Lösung: Die Anwendung des Vierstreckensatzes ergibt: h 0 – h _____ r = h 0 ____ 0,5a 6 cm – h _______r = 6 cm ____3 cm 6 cm – h _______x cm = 2 6 cm – h = 2x cm h = 6 cm – 2x cm h (x) = (6 – 2x) cm Lässt sich eine Größe b durch eine Größe a mithilfe einer Funktionsgleichung ausdrücken, spricht man von einer funktionalen Abhängigkeit. a bezeichnet man als Parameter oder Variable. h a x Wenn man mit Einheiten (z. B. cm) rechnet, verwendet man statt der Größe a oft nur deren Maßzahl x: a = x cm. Erstelle immer zunächst eine Skizze (Vorderansicht bzw. Axialschnitt), sodass man beispielsweise einen Vierstreckensatz gut anwenden kann. BA S MP h’ h FME S h 0 hh h 0 – h r h h’ aA B S CD x cm a r A B F C S ME D M = 2πr · h M (x) = 2π · x · (6 – 2x) cm2 = 4πx · (3 – x) cm2 V = πr2 · h V (x) = πx2 · (6 – 2x) cm3 = 2πx2 (3 – x) cm3 Wie hängt der Flächeninhalt eines Quadrats von seinem Umfang ab?