128 5.9 Raumgeometrie und Trigonometrie Georg soll das Volumen eines Quaders berechnen. • Hat Georg Recht? Begründe. I Für ein gerades Prisma mit gleichseitig-dreieckiger Grundfl äche gilt h = 35 cm und s = 30 cm. Berechne folgende Größen. a) Seitenlängen und Winkelmaße des Dreiecks BCD b) Neigungswinkel ϕ des Dreiecks BCD gegenüber der Grundfl äche Lösungsmöglichkeit: a) Das Dreieck ABD ist rechtwinklig bei A (Pythagoras). ___ BD = √ ______ s2 + h2 ___ BD = √ _______________ (35 cm)2 + (30 cm)2 46,1 cm = ___ CD ___ BC = s = 30 cm, da ΔABC gleichseitig. Da das Dreieck BCD nach dem Kongruenzsatz SSS konstruiert werden kann, wird zunächst der Kosinussatz angewendet: ___ BC2 = ___ BD2 + ___ CD2 – 2 · ___ BD · ___ CD · cos δ cos δ = ___ BD2 + ___ CD2 – ___ BC2 ____________ 2 · ___ BD · ___ CD cos δ = 2125 + 2125 – 900 ______________2 · 2125 = 3350 _____4250 0,788 δ 38,0° β = γ = 1 __ 2 · (180° – 38,0°) = 71,0° (Winkelsumme) Bei der Berechnung von Größen in Körpern (Längen, Winkelmaße, Volumen, Oberfl ächeninhalt) müssen sehr oft zunächst noch unbekannte Längen bzw. Winkelmaße bestimmt werden. Hilfreich sind dabei Dreiecke, mit deren Hilfe man fehlende Größen bestimmen kann. Dabei gilt: Sind in einem rechtwinkligen Dreieck … • zwei Seitenlängen gegeben, so kann die dritte Länge mithilfe von Pythagoras bestimmt werden. Die Winkelmaße erhält man mithilfe von Sinus, Kosinus oder Tangens. • eine Seitenlänge und ein spitzes Winkelmaß gegeben, so können die weiteren Größen mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens bestimmt werden. Ist ein beliebiges Dreieck konstruierbar nach dem Kongruenzsatz … • SsW oder WSW, so braucht man zur Bestimmung der fehlende(n) Seitenlänge(n) zunächst den Sinussatz. • SWS oder SSS, so braucht man zur Bestimmung der fehlenden Seitenlänge bzw. der Winkelmaße zunächst den Kosinussatz. Wenn zwei Winkelmaße bekannt sind, erhält man das dritte über die Winkelsumme im Dreieck. Alternativ hätte man das Dreieck BCD auch in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen können, um direkt mit Sinus oder Kosinus zu arbeiten. 30° 7 cm 4 cm Die vordere Fläche des Quaders wird durch die Diagonale in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Also lässt sich mithilfe des Satzes von Pythagoras die Höhe des Quaders bestimmen. D F C M ϕA B s h E s Schnittfläche D CB γβ δ