132 5.10 Vermischte Aufgaben 12 Einer geraden quadratischen Pyramide mit der Grundkantenlänge a = 6 cm und der Höhe h = 12 cm sind Quader mit der Grundkantenlänge x cm einbeschrieben. a) Stelle das Volumen der Quader in Abhängigkeit von x dar. Gib die Defi nitionsmenge an. b) Zeichne den Graphen von V (x) und bestimme grafi sch das maximale Volumen. c) Stelle die Mantelfl äche der Quader in Abhängigkeit von x dar. d) Überlege, ob V (x) und M (x) ihren extremen Wert für den gleichen x-Wert annehmen. 13 Vom Dach einer Hütte wird Regenwasser gesammelt und in einem großen, zylinder förmigen Tank gespeichert. Vorderansicht und Draufsicht der Hütte sind im Maßstab 1 : 400 dargestellt. Entnimm die notwendigen Maße der Zeichnung. a) In der Nacht regnete es 15 l pro m2. Um wie viele Zentimeter ist der Wasserspiegel im Tank dadurch angestiegen, wenn der zylinderförmige Tank einen Durchmesser von 2,4 m hat? b) Im Jahr 2015 wurde das Dach der Hütte für 5954,85 f neu eingedeckt. Berechne die Kosten pro Quadratmeter für die Eindeckung. 14 Gegeben ist der nebenstehende zusammengesetzte Körper. a) Zeichne für x = 2 den Axialschnitt des Körpers. b) Berechne die Oberfl äche und das Volumen des Körpers in Abhängigkeit von x. 15 Das Eiscafe „Kugeltraum“ hat einen neuen, 1,50 m hohen Werbeaufsteller. Es ist das Modell einer Eistüte mit einer Kugel Eis (Kegel mit aufgesetzter Halbkugel). a) Berechne das Volumen dieses Aufstellers. b) Wie groß ist die gesamte Oberfl äche des Aufstellers? c) Die Eissorten werden an der Eisbar in zwölf quaderförmige Behälter (a = 25 cm, b = 15 cm, c = 12 cm) gefüllt. Wie viele Liter Eis passen dort hinein? d) Zum Abmessen der Portionen werden halbkugelförmige Kellen mit 4,8 cm Durchmesser benutzt. Eisverkäufer Jan macht damit perfekte Kugeln. Wie viele Portionen Eis können im Idealfall insgesamt verkauft werden? e) Mit einer anderen halbkugelförmigen Kelle können 1500 Kugeln verkauft werden. Welchen Durchmesser hat diese Kelle? Schätze zuerst. 16 Ein Tetraeder wird passgenau in einen Würfel mit 20 cm Kantenlänge geschoben. Welchen Anteil des Würfelvolumens besitzt das Tetraeder? Lösungen zu 12 a) und c): V (x) = 2x2 · (6 – x) cm3 M (x) = 8x · (6 – x) cm2 35 cm 1,50 m a x cm h 2x cm 3x cm x cm