5.11 Themenseite: Zylinder und Kegel Volumen eines Zylinders – Grundidee Man kann das Volumen eines Zylinders auch „schrittweise“ bestimmen und dabei zunächst vom Volumen eines geraden Prismas ausgehen. Das Volumen eines n-seitigen Prismas ist dabei gleich der Summe der Volumina der Dreiecksprismen. a) 1 Begründe zunächst anschaulich, indem du einige Vielecke zeichnest: Jedes n-Eck kann man in n – 2 Dreiecke zerlegen. 2 Begründe damit für die Skizze: V Gesamt = V 1 + V 2 + V 3 + V 4 b) Die folgenden Zeichnungen zeigen die Grundidee für die Herleitung der Volumenformel für Zylinder. Beschreibe diese Grundidee. Volumen eines Zylinders – Näherung a) Für das Volumen des Prismas gilt folgende Formel. Begründe die Herleitung der Formel. b) Dem Zylinder wird ein regelmäßiges n-seitiges Prisma einbeschrieben. Mit steigendem n nähert sich das Prisma einem Zylinder an. Für den Grenzfall kann angenommen werden, dass das Prisma ein Zylinder ist. Mithilfe einer Tabellenkalkulation kann man diese „Grenzwertbetrachtung“ unter Verwendung der Volumenformel aus a) gut durchführen. Empfehlenswert ist dabei, die Zahl der Ecken exponentiell zu erhöhen, beispielsweise von einem Schritt zum nächsten immer zu verdoppeln. So erhält man schneller „schönere“ Ergebnisse. Baue das folgende Tabellenkalkulationsblatt nach und beachte Folgendes: Tabellenkalkulationsprogramme können mit den Gradangaben (Spalte B) nicht umgehen, weswegen man bei der Berechnung des Sinuswertes (Spalte C) einen kleinen Trick anwenden muss. Die Formel, die du eingeben musst, siehst du in Zelle C6. c) Begründe mithilfe der Tabellenkalkulation, dass für das Volumen eines Zylinders gilt: V = π · r2 · h. h A 1 A2 A 3 A 4 A G 134 n = 4 n = 8 n = 16 h r hr 22,5°hr 45° V n-seitiges Prisma = n · V Dreiecksprisma V n-seitiges Prisma = n · A Dreiecksprisma · h V n-seitiges Prisma = n · 1 __ 2 r 2 · sin ( 360° ____ n ) · h