142 6.1 Funktionen der indirekten Proportionalität Eine Funktionsgleichung der Form y = k __ x mit = und k X \ {0} beschreibt eine indirekte Proportionalität. Der Graph zu einer Funktion der Form y = k __ x ist eine Hyperbel. Sie setzt sich aus zwei Ästen zusammen. Die Hyperbeläste kommen den beiden Koordinatenachsen beliebig nahe, berühren oder schneiden sie jedoch nie. Man sagt, dass die xund die y-Achse Asymptoten der Hyperbel darstellen. Beispiel: Die Asymptoten der Hyperbel mit der Funktionsgleichung y = 1 __ x haben folgende Gleichungen: x = 0 und y = 0. Bei einem Gewinnspiel soll getippt werden, wie viele Golfbälle sich im Inneren eines Kleinwagens befi nden. Das Preisgeld beträgt 600 f. • Überlege dir, wie viel jeder erhält, wenn nicht nur eine Person richtig getippt hat, sondern zwei (drei, vier, …), und das Preisgeld gerecht aufgeteilt wird. • Stelle den Zusammenhang zwischen der Anzahl x der Personen, die richtig getippt haben, und dem Preisgeld y f pro Person grafi sch und mithilfe einer Gleichung dar. Beschreibe den Verlauf des Graphen. • Um welche Art der Zuordnung handelt es sich? • Wird durch die Zuordnung eine Funktion beschrieben? Begründe. Beachte: Alle Zahlen, für die der Nenner Null wird, gehören nicht zur Defi nitionsmenge der Funktion: = \ {0}. Asymptoten können mithilfe von Geradengleichungen beschrieben werden. Zeichne selbst noch weitere Hyperbeln. Da mit dem Punkt P (x P | y P ) auch der Punkt P’ (–x P | –y P ) auf der Hyperbel liegt, sind Hyperbeln punktsymmetrisch zum Ursprung. I Was lässt sich bei einer Funktionsgleichung y = k __ x mit = und k X \ {0} über den Verlauf der Hyperbeln in Abhängigkeit von k aussagen? Lösung: Für k 0 verlaufen die Hyperbeln im I. und III. Quadranten, für k 0 im II. und IV. Quadranten. Je größer |k|, desto weiter sind die Hyperbeläste vom Ursprung entfernt. II Der Punkt P (2 | 5) liegt auf einer Hyperbel mit einer Funktionsgleichung der Form y = k __ x ( = und k X \ {0}). Ermittle die Funktionsgleichung. Lösung: Da P (2 | 5) auf der Hyperbel liegt, gilt: 5 = k __ 2 k = 10 Somit lautet die Funktionsgleichung der Hyperbel: y = 10 ___ x . y x1–1–2–3 2 3 4 1 k = 4 k = 3k = –6 k = –8 k = 2 –1 2 3 –2 –3 y x1–1–2–3 2 3 k = 1 1 –1 2 3 –2 –3 y = 1 x