144 6.2 Exponentialfunktionen Plitsch Platsch Im Land Oceanien gibt es zwei Ferienjobs über 6 Wochen zum Fischfang. Die Pinguine Plitsch und Platsch haben verschiedene Angebote angenommen: • Lege eine Wertetabelle für die Löhne der beiden Pinguine an. • Stelle den Verlauf der Löhne auch zeichnerisch in einem Koordinatensystem dar. • Welches Angebot ist besser? Begründe. Plitsch Lohn für die 1. Woche: 10 O$* Jede weitere Woche erhöht sich der Lohn um 4 O$*. Platsch Lohn für die 1. Woche: 2 O$* In jeder Woche verdoppelt sich der Lohn. Im Alltag lassen sich verschiedene Wachstumsvorgänge (bzw. Abnahmevorgänge) unterscheiden. Zwei wichtige solcher Vorgänge sind: 1 lineares Wachstum In gleichen Zeiträumen Zunahme der Werte um den gleichen Summanden Die zugehörige Funktion ist eine lineare Funktion: y = m · x + b. Der y-Achsenabschnitt b ist somit der Startwert zum Zeitpunkt 0, die Steigung m gibt die Änderung während einer Einheit an. 2 exponentielles Wachstum In gleichen Zeiträumen Vervielfachung der Werte mit dem gleichen Faktor. Die zugehörige Funktion ist eine Exponentialfunktion mit der Gleichung y = k · ax. k gibt den Startwert zum Zeitpunkt 0 an, a den Faktor der Vervielfachung (a 0) während einer Einheit. Eine Funktion der Form y = k · ax mit = , k Z und a Z \ {1} beschreibt eine Exponentialfunktion. Je nach Wert von a unterscheidet man steigende (a 1) und fallende (0 a 1) Exponentialfunktionen. Eigenschaften: • = ; = • Alle Graphen gehen durch P (0 | k). Für k ≠ 1 werden die Graphen von y = ax mit dem Faktor k gestaucht oder gestreckt. * O$: Ocean-Dollar lineares Wachstum: m 0 lineare Abnahme: m 0 exponentielles Wachstum: a 1 exponentielle Abnahme: 0 a 1 Beachte: • k 1: Der Graph wird gestreckt. • 0 k 1: Der Graph wird gestaucht. x 0 1 2 3 y 5 9 13 … + 1 + 4 + 1 + 4 + 1 + 4 x 0 1 2 3 y 2 6 18 … + 1 · 3 + 1 · 3 + 1 · 3 y x1–1–2–3 2 3 4 1 2 3 4 5 y = ( 1 __ 10 ) x y = ( 1 __ 2 ) x y = 1 __ 2 · 2 x y = 10x