148 6.3 Vermischte Aufgaben 1 Gegeben ist der Punkt P (2 | –4) auf einer Hyperbel mit der Gleichung y = k __ x . a) Ermittle die Funktionsgleichung von y. Überprüfe das Ergebnis zeichnerisch. b) Gib die Defi nitionsund Wertemenge und die Gleichungen der Asymptoten zur Funktionsgleichung aus a) an. c) Bestimme die fehlenden Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie auf der Hyperbel liegen. Q (–1 | y) R (x | 4) S (x | –2) T (0,5 | y) U (x | –20) 2 Gegeben sind die Gleichungen der Funktionen f 1 mit y = x + 3,5 und f 2 mit y = 2 __ x . a) Zeichne die beiden Graphen mithilfe einer Wertetabelle für x X [–5; 5] in ein Koordinatensystem und lies die Koordinaten der Schnittpunkte ab. b) Bestätige die Koordinaten der Schnittpunkte aus a) rechnerisch. 3 Gegeben ist die Funktion f mit y = 1,5x. a) Zeichne den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem. b) Führe folgende Abbildung aus: f y-Achse f’. c) Ermittle die Gleichung von f’. d) Gib die Eigenschaften der Funktionen f und f’ an. 4 a) Erstelle für jede Funktion eine Wertetabelle für x X [–5; 5] mit Δx = 1. f 1 : y = 0,25 · 0,5x f 2 : y = 0,5 · 0,5x f 3 : y = 1 · 0,5x b) Vergleiche die Funktionswerte zu den Funktionen aus a). Beschreibe Zusammenhänge, die du erkennst. Überprüfe die Zusammenhänge an weiteren Beispielen mit einem Computerprogramm. 5 Der Graph der Funktion y = k · ax verläuft durch die Punkte A und B. Bestimme die Parameter a und k. a) A (0 | 3) B (1 | 1,2) b) A (0 | 0,5) B (1 | 2) c) A (2 | 12) B (5 | 96) d) A (1 | 6) B (3 | 24) 6 Eine Kleinstadt hat heute 20 000 Einwohner. Die Bevölkerungszahl nimmt jährlich um 1,5 % zu. a) Gib eine Funktionsgleichung für das Wachstum der Bevölkerung an. b) Bestimme bei gleichem Wachstum die Einwohnerzahl in 20 Jahren. c) Nach wie vielen Jahren hat die Stadt erstmals mehr als 26 000 Einwohner? Löse mithilfe einer Wertetabelle. 7 Steffen Schlaumeier möchte verschiedene Exponentialfunktionen im I. Quadranten in einem möglichst großen Intervall zeichnen. Dazu trägt er die Graphen der folgenden Funktionen in ein kartesisches Koordinatensystem (1 LE 1 cm) auf einer Tapetenrolle (l = 10 m, b = 80 cm) ein. f 1 : y = 0,2x f 2 : y = 4,5x f 3 : y = 10 · 1,5x f 4 : y = 0,2 · 0,1x f 5 : y = 10x Ermittle mithilfe des Taschenrechners das jeweilige Wertepaar (x | y) mit dem größten y-Wert, das er in seinem Koordinatensystem darstellen kann, wenn beide Achsen direkt auf die Tapetenkante gezeichnet werden. 5 –5 5 Du kannst den Taschenrechner zur Überprüfung nutzen. Lösungen zu 1 c): –16; –2; 0,4; 4; 8 Lösungen zu 5: 0,4; 1 __ 2 ; 2; 2; 3; 3; 3; 4 f 5 : y = 4 · 0,5xf 4 : y = 2 · 0,5x