Grundwissen Geraden und Ebenen im Raum 43 Gegeben ist ein Würfel ABCDEFGH. a) Benenne alle Geraden, auf denen die Kanten des Würfels liegen. b) Benenne zueinander senkrechte (parallele) Geradenpaare, die sich durch die Eckpunkte beschreiben lassen. c) Finde vier windschiefe Geradenpaare, die durch Eckpunkte des Würfels festgelegt sind. d) Bezeichne alle Ebenen, die die Punkte F und D beinhalten. 44 Zeichne den Quader ABCDEFGH (Bezeichnungen am Quader wie bei Aufgabe 43) und begründe. a) FB E (ACD) b) EH || E (DFG) c) EF E (ADH) d) EF || E (ABC) 45 Betrachte die Pyramide ABCDS mit rechteckiger Grundfl äche. Ergänze die Aussagen. a) DA BC b) AB DA c) BC Y DB = d) AC SH e) E (ABH) Y E (ADS) = f) E (MHS) Y SH = g) CD Y E (ABS) = Ebenen können wie folgt festgelegt werden. • durch drei Punkte P, Q und R, die nicht auf einer Gerade liegen • durch eine Gerade g und einen Punkt P mit P x g • durch zwei parallele Geraden p 1 und p 2 • durch zwei sich schneidende Geraden g und h Geraden in der Ebene Zwei Geraden können sich schneiden, parallel zueinander verlaufen oder identisch sein. Geraden und Ebenen im Raum • Gerade – Gerade: Neben den Lagebeziehungen in der Ebene können zwei Geraden im Raum auch windschief sein. • Gerade – Ebene: Die Gerade verläuft in der Ebene, sie schneidet die Ebene oder liegt parallel zur Ebene. • Ebene – Ebene: Zwei Ebenen können sich in einer Gerade schneiden (Sonderfall E 1 E 2 ), können parallel zueinander liegen (E 1 || E 2 ) oder identisch sein. Winkel im Raum 46 Gegeben ist ein Würfel ABCDEFGH mit Kanten länge s = 3 cm. a) Wie groß ist der Winkel zwischen den Flächendiagonalen und Kanten des Würfels? b) Bestimme die Länge der Flächendiagonale durch Konstruktion. c) Wie groß ist das Maß des Winkels ACE? 47 Begründe, dass alle Winkel zwischen den Raumdiagonalen eines Würfels maßgleich sind. Der Winkel zwischen zwei Geraden im Raum lässt sich auf den Winkel zwischen zwei Geraden in der Ebene zurückführen. Sucht man den Winkel zwischen einer Gerade g und einer Ebene E oder zwischen zwei sich schneidenden Ebenen E 1 und E 2 im Raum, führt man diese Fälle auf den Schnitt zweier Geraden zurück. A E F GH B CD A E F GH B CD h A a H M B S C D b 14