160 • Um welche Figur (Sonderform) handelt es sich jeweils? • Erläutere wesentliche Eigenschaften der einzelnen Figuren sowie Beziehungen zwischen verschiedenen Figuren. • Welche Formeln und Berechnungsverfahren fallen dir zu den einzelnen Figuren und ihren Bestimmungsstücken ein? Wichtige Figuren (und Sonderformen) in der ebenen Geometrie sind: • Dreieck (gleichschenklig (gleichseitig), rechtwinklig) • Viereck (Drachen, Trapez (gleichschenklig), Parallelogramm, Raute, Rechteck, Quadrat) • Kreis I Ein Bauunternehmer möchte das Grundstück mit der Flur-Nr. 712/84 (siehe nebenstehende Skizze), welches die Seitenlängen 60,00 m, 70,00 m und 80,00 m hat, gegen ein rechteckiges Grundstück mit dem gleichen Flächeninhalt eintauschen. Die Länge des rechteckigen Grundstücks soll 1,5-mal so groß wie die Breite sein. Berechne die Seitenlängen des rechteckigen Grundstücks. Runde auf zwei Stellen nach dem Komma. Lösungsmöglichkeit: Das rechteckige Grundstück habe die Länge a m und die Breite b m mit a, b X ; ϕ sei das Maß des Winkels, welcher der längsten Seite des Grundstücks mit der Flur-Nr. 712/84 gegenüberliegt (ϕ X ]0°; 180°[). a · b = 1 __ 2 · 60,00 · 70,00 · sin ϕ (I) a = 1,5 · b (II) cos ϕ = 60,00 2 + 70,002 – 80,002 __________________ 2 · 60,00 · 70,00 ϕ = 75,52° (*) (*) und (II) in (I) eingesetzt: 1,5 · b2 = 1 __ 2 · 60,00 · 70,00 · sin 75,52° b = √______________________ 1 __ 3 · 60,00 · 70,00 · sin 75,52° b = 36,82 In (II) eingesetzt: a = 55,23 Die Seitenlängen des rechteckigen Grundstücks sind 36,82 m und 55,23 m. Erinnere dich an das „Haus der Vierecke“. Denke an die Festlegung der Variablen, die du selbst einführst. Zwei Bedingungen (I für den Flächeninhalt von Dreieck und Rechteck sowie II für die Länge und Breite des Rechtecks) müssen erfüllt sein: Du erhältst zwei mit „und zugleich“ verknüpfte Gleichungen. Berechne das fehlende Winkelmaß mithilfe trigonometrischer Beziehungen. 712/84 7.2 Abschlussprüfung – Ebene Geometrie