1O–2 –1 1 2 P p p’ S P’ S’ x y 2 3 4 5 6 7 8 __ › v __ › v x = –2 11 1 1 p 1 –2 –1 x y s S 2 3 4 5 6 20 1.3 Parallelverschiebung von Parabeln • Zeichne die Graphen der Funktionen p 1 : y = x2, p 2 : y = x2 + 3 und p 3 : y = x2 – 3 mit = für x X [–3; 3] in ein Koordinatensystem. • Beschreibe die Lage des Graphen zu p 2 (p 3 ) in Relation zum Graphen zu p 1 . Vergleiche die entsprechenden Koordinaten der Scheitelpunkte der Parabeln miteinander. • Zeichne die Graphen der Funktionen p 4 : y = (x – 3)2 und p 5 : y = (x + 2)2 mit = für x X [–3; 3] in ein neues Koordinatensystem und verfahre ebenso wie mit den vorherigen Graphen. • Zeichne den Graphen zu p 1 auf ein kariertes Blatt und verschiebe die Parabel um 2 Einheiten in die positive y-Richtung. Bezeichne den neuen Graphen mit p 1 ’. Verschiebe diesen um 4 Einheiten in die positive x-Richtung, bezeichne den neuen Graphen mit p 1 ’’. Gib die Funktionsgleichung von p 1 ’ sowie p 1 ’’ an und vergleiche mit der von p 1 . Was fällt auf? • Ersetze bei den Funktionen p 1 bis p 5 den Koeffi zienten a = 1 durch a = 2 und führe alle Aufträge erneut aus. Was stellst du fest? Verwende den GTR oder ein dynamisches Geo metrieprogramm. Verwende bei der Zeichnung verschiedene Farben. Überlege dir, wie viele Punkte höchstens parallel verschoben werden müssen, damit die „neue“ Parabel gezeichnet werden kann. Bei der Parallelverschiebung handelt es sich um eine Kongruenzabbildung. Somit reicht es aus, nur einen Punkt der Parabel (sinnvollerweise den Scheitel) zu verschieben. Die Gleichung y = a (x – x S )2 + y S mit a X \ {0}, x S , y S X wird als Scheitelpunktsform der allgemeinen Parabel bezeichnet. Funktionen mit der Gleichung … • y = ax2 + y S mit a X \ {0}, y S X und = beschreiben Parabeln, die entlang der y-Achse verschoben sind und den Scheitel S (0 | y S ) besitzen. • y = a (x – x S )2 mit a X \ {0}, x S X und = beschreiben Parabeln, die entlang der x-Achse verschoben sind und den Scheitel S (x S | 0) besitzen. • y = a (x – x S )2 + y S mit a X \ {0}, x S , y S X und = beschreiben Parabeln, die entlang der xund y-Achse verschoben sind und den Scheitel S (x S | y S ) besitzen. I Der Scheitel einer verschobenen Normalparabel p ist S (–2 | 4). a) Gib die Wertemenge und die Gleichung der Symmetrieachse s von p an. b) Bestimme die Gleichung von p in der Scheitelpunktsform. c) Gib die x-Koordinaten der Punkte Q 1 X p und Q 2 X p an, die beide die y-Koordinate 5 haben. Lösung: a) Da p (–2) = 4 der minimale Funktionswert ist, gilt = {y | y 4}. Die Symmetrieachse s verläuft durch den Scheitel S. Ihre Gleichung lautet somit: x = –2. b) p: y = 1 · ( x – (–2) ) 2 + 4 p: y = (x + 2)2 + 4 c) Da p eine verschobene Normalparabel ist, ihr Scheitel die y-Koordinate 4 hat und x = –2 die Gleichung der Symmetrieachse ist, folgt: x Q1 = –3; x Q2 = –1 II Die Parabel p: y = x2 + 1 ( = ) wird mit dem Vektor __ › v = ( 1 3 ) auf die Parabel p’ abgebildet. Bestimme die Gleichung von p’ in der Scheitelpunktsform.