26 1.5 Aufstellen von Parabelgleichungen Überlege dir, welche Angaben du benötigst für das Aufstellen einer … • Geradengleichung der Form y = mx + t mit m, t X und = . • Parabelgleichung der Form y = a (x – x S )2 + y S mit a X \ {0}, x S , y S X und = . • Parabelgleichung der Form y = ax2 + bx + c mit a X \ {0} und b, c X sowie = . Man nennt a, b und c in der Gleichung y = ax2 + bx + c auch Formvariablen. Die Lösung erfolgt analog, wenn statt der Koeffi zienten b und c die zwei Koeffi zienten a und b oder a und c gesucht sind. Die Lösung erfolgt analog, wenn statt des Koeffi zienten b der Koeffi zient a oder c unbekannt ist. I Gib die Gleichung der Parabel p mit y = –4x2 + bx + 2 (b X und = ) an, wenn P (–1 | –5) X p ist. Lösung: P X p liefert: –5 = –4 · (–1)2 + b · (–1) + 2 b = 3 p: y = –4x2 + 3x + 2 II Stelle die Gleichung für eine an der x-Achse gespiegelte und verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (3 | –7) auf. Lösung: Gespiegelte Normalparabel a = –1 p: y = –(x – 3)2 – 7 III Ermittle die Gleichung der Parabel p, wenn der Scheitelpunkt S (–3 | 2) und der Punkt P (1 | –5) X p bekannt sind. Lösung: Einsetzen der Punktkoordinaten von S und P in die Scheitelpunktsform liefert: –5 = a ( 1 – (–3) ) 2 + 2 a = – 7 ___ 16 p: y = – 7 ___ 16 (x + 3)2 + 2 Um Parabeln p zeichnen oder deren Funktionsgleichung aufstellen zu können, braucht man … • für die Scheitelpunktsform der quadratischen Funktion y = a · (x – x S )2 + y S mit a X \ {0}, x S , y S X und = den Koeffi zienten a sowie die Ko ordinaten x S und y S des Scheitelpunktes S. • für die allgemeine Form der quadratischen Funktion y = ax2 + bx + c mit a X \ {0} und b, c X sowie = die drei Koeffi zienten a, b und c. Beispiel: Die Punkte P (–6 | 3) und Q (–2 | –5) liegen auf einer an der x-Achse gespiegelten Normalparabel p ( = ). Gespiegelte Normalparabel a = –1 P, Q X p liefert: I 3 = –1 · (–6)2 + b · (–6) + c I 3 = –36 – 6b + c I 3 = –36 – 6b + c II –5 = –1 · (–2)2 + b · (–2) + c II –5 = –4 – 2b + c II c = –1 + 2b (II) in (I) liefert: 3 = –36 – 6b – 1 + 2b b = –10 (*) (*) in (II) liefert: c = –1 + 2 · (–10) c = –21 Die Gleichung der Parabel p lautet: y = –x2 – 10x – 21.