40 2.1 Reinquadratische Gleichungen 1 2 3 Das Netz eines Würfels hat den Flächeninhalt 486 cm2. Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 36 m2. Die kreisförmige Rosette einer Kirche überdeckt eine Fläche von 1018 dm2. • Stelle jeden Sachverhalt als Gleichung dar. • Löse die Gleichungen. Achte auf die Anzahl der Lösungen in Zusammenhang mit dem Sachverhalt. Gleichungen, die sich auf die allgemeine Form ax2 + bx + c = 0 (a b, c X , a ≠ 0) bringen lassen, heißen quadratische Gleichungen. Man unterscheidet rein quadratische (b = 0) und gemischtquadratische Gleichungen (b ≠ 0). Jede reinquadratische Gleichung lässt sich durch Umformen auf die Form x2 = d bringen mit d = – c __ a . d 0 d = 0 d 0 Beispiel: x2 = 4 rechnerisch: x 1/2 = +– √ __ 4 x 1/2 = +– 2 x 1 = –2; x 2 = 2 Beispiel: x2 = 0 rechnerisch: x 1/2 = +– √ __ 0 x 1/2 = +– 0 x = 0 Beispiel: x2 = –2 rechnerisch: x2 = –2 Der Radikand ist positiv, die Gleichung hat zwei Lösungen. = {–2; 2} Der Radikand ist null, die Gleichung hat eine Lösung. = {0} Der Radikand ist negativ, die Gleichung hat keine Lösung. = Beim grafi schen Lösen von quadratischen Gleichungen sind die abgelesenen Werte oft nur Näherungswerte. Wenn nichts anderes vereinbart ist, gilt = . a a Jede reinquadratische Gleichung x2 = d lässt sich auf die Form x2 – d = 0 bringen. a a 1 1 2 –2 –1 y 2 3–3 –2 –1 x I Löse die Gleichung 2x2 = 6 grafi sch. Beschreibe dein Vorgehen. Lösung: Wir können die reinquadratische Gleichung 2x2 = 6 umformen in x2 = 3 x2 – 3 = 0. Die Lösung der Gleichung können wir als Nullstellen der Funktion y = x2 – 3 verstehen. Für die Anzahl der Nullstellen gelten dieselben Bedingungen wie im Merkwissen. Der Zeichnung entnimmt man: x 1 –1,7; x 2 1,7 = {–1,7; 1,7}