42 Die Gleichung x2 – 2x – 3 = 0 kann nicht durch Radizieren gelöst werden. Wenn man die Scheitelpunktsform der Funktion verwendet, dann kommt man auch mit Wurzel ziehen weiter. 2.2 Gemischtquadratische Gleichungen • Überprüfe Jakobs Aussage. • Führe Evas Idee aus. Jede beliebige quadratische Gleichung lässt sich auf die Normalform bringen. Liegt eine quadratische Gleichung in der Form x2 + px + q = 0 vor, so spricht man von der Normalform einer quadratischen Gleichung. Jede quadratische Gleichung kann auf verschiedene Arten gelöst werden. 2 grafi sch: Nullstellen der zugehörigen quadra tischen Funktion y = x2 + 6x + 5 Beispiel: x2 + 6x + 5 = 0 1 rechnerisch: Umformung mit quadratischer Ergänzung x2 + 6x + 32 – 9 + 5 = 0 (x + 3)2 – 4 = 0 | + 4 (x + 3)2 = 4 x + 3 = +– 2 | – 3 x 1 = –5; x 2 = –1 = {–5; –1} –2 –2 –3 –1 y –4 –1–6 –5 –4 –3 x x 1 = –5; x 2 = –1 = {–5; –1} Binomische Formel: (x – a)2 = x2 – 2ax + a2 I Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung x2 – 2x – 3 = 0. Lösung: rechnerisch: grafi sch: x2 – 2x + 12 – 1 – 3 = 0 (x – 1)2 – 4 = 0 | + 4 (x – 1)2 = 4 x – 1 = +– 2 | + 1 x 1 = –1; x 2 = 3 = {–1; 3} Binomische Formel: (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 Auch hier gilt: Bei (x + a)2 = d erhält man für … • d 0 zwei Lösungen. • d = 0 eine Lösung. • d 0 keine Lösung. 1 –2 –3 –1 y –4 2 3–1 x