44 2.3 Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen Bei der rechnerischen Lösung der Normalform einer quadratischen Gleichung werden stets dieselben Lösungsschritte durchlaufen. Eine Umformung der Normalform x2 + px + q = 0 (p, q X ) ergibt eine Lösungsformel, mit der alle Gleichungen dieser Art gelöst werden können. • Übertrage die Umformung ins Heft und setze sie zur Herleitung einer Lösungsformel weiter fort. x2 + px + q = 0 x2 + px + ( p __ 2 ) 2 – ( p __ 2 ) 2 + q = 0 • Überprüfe, unter welchen Bedingungen für p und q die quadratische Gleichung keine, eine bzw. zwei Lösung(en) hat. Herleitung der Lösungsformel für die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 (a, b, c X , a ≠ 0): ax2 + bx + c = 0 | : a x2 + b __ a x + c __ a = 0 | quadr. Ergänzung x2 + b __ a x + ( b ___ 2a ) 2 – ( b ___ 2a ) 2 + c __ a = 0 | Vereinfachung ( x + b ___ 2a ) 2 – b 2 – 4ac _______ 4a2 = 0 | + b 2 – 4ac _______ 4a2 ( x + b ___ 2a ) 2 = b 2 – 4ac _______ 4a2 x + b ___ 2a = +– √_______ b2 – 4ac_______4a2 | – b ___ 2a , Vereinfachung x = – b ___ 2a +– √ _______ b2 – 4ac _________2a x 1 = –b – √ _______ b2 – 4ac ___________2a ; x2 = –b + √ _______ b2 – 4ac ____________2a I Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung mithilfe der Lösungsformel. a) –2x2 + 3x + 4 = 0 b) 2 __ 3 x 2 – 8x + 24 = 0 Lösung: a) –2x2 + 3x + 4 = 0 b) 2 __ 3 x 2 – 8x + 24 = 0 a = –2; b = 3; c = 4 a = 2 __ 3 ; b = –8; c = 24 x 1/2 = –3 ± √ ____________ 32 – 4 · (–2) · 4 _________________ 2 · (–2) x 1/2 = – (–8) ± √_____________ (–8)2 – 4 · 2 __ 3 · 24 ____________________ 2 · 2 __ 3 x 1/2 = –3 ± √ ___ 41 ________–4 x1/2 = 8 ± √ __ 0 ______ 4 __ 3 x 1 = –3 + √ ___ 41 ________–4 x = 8 __ 4 __ 3 = 6 x 2 = –3 – √ ___ 41 ________–4 = {6} = { –3 + √ ___ 41 ________–4 ; –3 – √ ___ 41 ________–4 } Vergleiche die Koeffi zienten der Gleichung mit der allgemeinen Form ax2 + bx + c = 0 Beachte Vorzeichen und Rechenzeichen. Oftmals gibt man auch gerundete Werte für x 1 und x 2 an. Die Lösungsformel wird manchmal als a-b-c-Formel oder als Mitternachtsformel bezeichnet. Im Folgenden gilt = .