46 2.3 Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen 6 Bestimme zuerst mithilfe der Diskriminante die Anzahl der Lösungen und dann die Lösungsmenge. a) 2x2 – 10x + 21 = 0 b) –x2 – 10x – 10,5 = 0 c) 3x2 + 6x – 105 = 0 d) 3,5x2 = 1,75x + 5,25 e) 100x · (x + 3) = 559 f) 4x2 – 9 = –x2 + 16 g) 1,5x2 + 0,5 √ __ 2 · x = 1 h) x2 – 4 · ( √ ___ 12 – √ __ 6 ) x – 12 √ __ 4 = 0 7 Tritt in einer quadratischen Gleichung neben der Hauptvariable (hier: x) noch eine Formvariable auf, dann hängt die Lösbarkeit der Gleichung von dieser Formvariable ab. Mithilfe der Diskriminante kann die Lösbarkeit der Gleichung untersucht werden. Beispiele: 1 Für welche Werte von m ist 2 Für welche Belegung von k hat x2 – 8x + 2 – m = 0 in nicht die Gleichung 2kx2 + 4x – 8 = 0 lösbar? in zwei Lösungen? a = 1; b = –8; c = 2 – m a = 2k; b = 4; c = –8 D = b2 – 4ac D = b2 – 4ac D = (–8)2 – 4 · 1 · (2 – m) D = 42 – 4 · 2k · (–8) D = 56 + 4m D = 16 + 64k D 0; also 56 + 4m 0 D 0, also 16 + 64k 0 m –14 k –0,25 = für m –14 = { –1 – √ ______ 1 + 4k __________ k ; –1 + √ ______ 1 + 4k __________ k } für k –0,25 a) Für welche Belegung von k hat die Gleichung in zwei Lösungen? Bestimme die Lösungsmenge. 1 x2 – x + k = 0 2 x2 – k __ 4 = 7x 3 5x 2 – 7x = 49k 4 kx2 + 2x + k __ 4 = 0 5 kx 2 – 2x + 4 = 0 6 kx2 + 1 = 4 __ 5 x b) Für welches t hat die Gleichung genau eine Lösung? Gib die Lösungsmenge an. 1 0,2x2 + 4x – 5t = 0 2 4x2 + 12 = 12x – t 3 x2 – 13x = 2t – 3 4 x2 – (t + 0,5) · x + 25 ___ 16 = 0 5 tx2 + 3tx – 1 = 2tx – 1 6 3x2 – 7x = 1 __ 6 t – 2 c) Bestimme alle Werte von m, für die die Gleichung keine Lösung hat. 1 3mx2 – 6x + 9 = 0 2 (2 – m) x2 – 5x – 5 = 0 3 x2 – 13x = 2m – 3 8 Bestimme t so, dass die Diskriminante D den angegebenen Wert annimmt. Bestimme dann die Lösungsmenge der Gleichung in . a) 2x2 + 8x – 6t = 0 (D = 16) b) 3tx2 – 4,5x + 5 = 0 (D = –19,5) c) x2 + (t – 2) · x – t = 0 (D = 8) d) 0,5 · (x – t) · (x + 5) = 0 (D = 0) 9 Gegeben ist der Punkt A (–3 | 2) eines Dreiecks ABC. Der Punkt B mit der Abszisse x (x –1,5) liegt auf der Gerade b: y = –0,5x + 3. Der x-Wert des Punktes C ist jeweils halb so groß wie der von B, wobei C auf c: y = 0,5x + 5 liegt. a) Zeichne die Geraden b und c und die Dreiecke AB n C n für x 1 = 0, x 2 = 2 und x 3 = 6 in ein Koordinatensystem. b) Berechne mithilfe von Vektoren den Flächeninhalt A (x) der Dreiecke AB n C n . c) Für welchen Wert von x liegt ein Dreieck mit dem Flächeninhalt 16,5 FE (38 FE) vor? Lösungen zu 7 c): m 1 __ 3 ; m 13 ___ 4 ; m – 157 ____ 8 Lösung zu 9 b): A (x) = ( 1 __ 4 x2 + 9 __ 8 x + 3 ) FE Lösungen zu 6: –68; 6,5; 58; 76,5625; 112,47; 500; 1296; 313 600 Angegeben sind nur die Werte der Diskriminanten. 8 9–4 –2