48 2.4 Systeme quadratischer Gleichungen Eine Zahnradbahn soll aus einem Tunnel kommend eine annähernd parabelförmige Schlucht überqueren und auf der anderen Seite die Fahrt in einem weiteren Tunnel fortsetzen. Die Steigung der Bahn ist konstant. • In welcher Höhe über der Talstation verlässt die Bahn den Tunnel (fährt sie wieder in den Tunnel ein)? Beschreibe dein Vorgehen. Die Bestimmung gemeinsamer Punkte einer Parabel und einer Gerade (oder einer anderen Parabel) führt auf ein Gleichungssystem, bei dem mindestens eine Gleichung quadratisch ist. Man spricht von einem quadratischen Gleichungssystem. Quadratische Gleichungssysteme können wie lineare Gleichungssysteme grafi sch und rechnerisch gelöst werden. Bei der Bestimmung der Schnittpunkte zweier Geraden löst man ein lineares Gleichungssystem. Beim grafi schen Lösungsverfahren sollte man eine Probe anschließen. In der Zeichnung gilt: 1 Einheit 50 m I Bestimme die gemeinsamen Punkte der Parabel p: y = (x – 1)2 – 2 und der Gerade g: y = –x + 5 grafi sch und rechnerisch. Beschreibe dein Vorgehen. rechnerisch 1 Notiere das quadratische Gleichungssystem: I y = (x – 1)2 – 2 II y = –x + 5 2 Gleichsetzen der Gleichungen liefert: (x – 1)2 – 2 = –x + 5 x2 – 2x + 1 – 2 = –x + 5 x2 – x – 6 = 0 3 Löse die entstandene Gleichung: x 1/2 = 1 ± √ ______________ (–1)2 – 4 · 1 · (–6) _________________ 2 x 1 = –2; x 2 = 3 4 Berechne den Wert für y durch Einsetzen in I oder II: y 1 = –(–2) + 5 = 7; y 2 = –3 + 5 = 2 5 Lösungsmenge: = {(–2 | 7); (3 | 2)} Lösung: grafi sch 1 Zeichne die Graphen zu p und g in ein Koordinatensystem. 2 Entnimm der Zeichnung die Schnittpunkte: S 1 (–2 | 7) und S 2 (3 | 2) 3 Lösungsmenge: = {(–2 | 7); (3 | 2)} 1 1 2 3 4 –2 –1 5 y 2 3 4 g p –2 –1 x 6 7N u r zu P rü fz w e c k e n E ig e n tu m d e s C .C .B u c h n e r V e rl a g s