54 2.6 Vermischte Aufgaben Beachte die Defi nitionsmenge. 1 Bestimme rechnerisch die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung. a) x2 – 16 = 0 b) x2 + 16x = 0 c) x2 + 16 = 0 d) x2 – 2 = 0 e) x2 + 2x = 0 f) x2 – 8 = 0 g) x2 – 14x + 33 = 0 h) x2 – 12x – 64 = 0 i) x2 – 10x – 56 = 0 j) x2 – 11x = 50,75 k) x2 + 3x = 22,75 l) x2 – 17 = –16 2 Bestimme zunächst die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung mithilfe der Diskriminate D. Ermittle anschließend die Lösungsmenge. a) x2 + x + 1 = 0 b) x2 – 4x + 8 = 0 c) x2 – 1 __ 4 x – 1 __ 4 = 0 d) 2x2 + x + 1 = 0 e) – 1 __ 2 x 2 + 1 __ 3 x – 1 = 0 f) 2x 2 – 28x + 98 = 0 3 Löse die Zahlenrätsel. Beachte die Defi nitionsmenge. a) Die Summe einer natürlichen Zahl und ihrer Quadratzahl ergibt 132. b) Das Produkt zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen beträgt 812. c) Zwei Zahlen unterscheiden sich um 7. Das Produkt beider Zahlen ist 450. d) Die Summe der Quadrate von vier aufeinander folgenden geraden natürlichen Zahlen beträgt 1176. e) Von zwei Zahlen ist eine um 12 größer als die andere. Das Produkt der beiden Zahlen beträgt 864. f) Die Summe der Quadrate des dritten und vierten Teils einer Zahl ergibt 12,25. 4 Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 13 cm lang. Die beiden Katheten unterscheiden sich um 7 cm. a) Berechne die Länge der Dreiecksseiten. b) Ermittle den Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks. 5 Die Höhe eines Dreiecks ist um 4 cm kleiner als die Grundseite. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks beträgt 160 cm2. Berechne die Länge der beiden Strecken. 6 Gib eine quadratische Gleichung an, welche als Lösungsmenge hat. a) = {–0,5; 2} b) = {0,03; 0,5} c) = {–8; 23} 7 Berechne die Lösungsmenge. Achte auf die Defi nitionsmenge. a) 6x2 + 10x + 4 = (x + 1) · (7x + 3) b) (12x + 3)2 = 72x + 13 c) (5x + 3)2 + (5x – 3)2 = 218 d) (3 + x) · (x – 3) + (x + 9)2 = (x – 3)2 e) 52 – 7x ______ x – 36 = 13x – 28 _______4 – 9x f) –7 + 3x ______3 + x = 2x – 5 _____1 + 2x g) 3x2 + 5 ______12 = 1 + 2x2 – 5 ______ 6 8 Wenn man den Radius eines Kreises um 39 cm vergrößert, so steigt sein Flächeninhalt auf das 6,25-Fache. Ermittle die Durchmesser beider Kreise. 9 Ulf kauft in einem Geschäft Schrauben für 30 f. In einem anderen Geschäft kostet eine Schraube 5 ct weniger, er erhält dort für den gleichen Betrag 100 Schrauben mehr. Wie viele Schrauben hat Ulf gekauft? 10 Für welche Werte von m besitzt die Gleichung zwei Lösungen? a) mx2 + 3x + 7 = 0 b) 4x2 – 4mx + 4m + 16,25 = 0 c) mx2 + 4x – (3 – 2m) = 0 d) –3mx2 + 5m + 3 = 0 Für geometrische Aufgaben sind Skizzen unentbehrlich. Findest du verschiedene Möglichkeiten? Lösungen zu 7: = {–1; 1}; = {–4; 4}; = {1; 2}; = { – √ __ 3 ; √ __ 3 } ; = {–2; 2}; = { – 1 __ 6 ; 1 __ 6 } ; = {–21; –3} Lösungen zu 1: = {–16; 0}; = {–6,5; 3,5}; = {–4; 4}; = {–4; 14}; = {–4; 16}; = {–3,5; 14,5}; = ∅; = {–2; 0}; = {– √ __ 2 ; √ __ 2 }; = {–1; 1}; = {3; 11}; = {–2 √ __ 2 ; 2 √ __ 2 } x 13 cm x + 7 c m E gilt: = bzw. = .