56 2.6 Vermischte Aufgaben 16 Gegeben ist die Parabel p mit y = –x2 – 4x + 1 und die Geradenschar g (t) mit y = –x + t. a) Zeichne die zu t X {–3; 1; 6} gehörenden Geraden g 1 , g 2 und g 3 sowie die Parabel p in ein gemeinsames Koordinatensystem. b) Ermittle aus der Zeichnung die Koordinaten der Schnittpunkte S 1 und T 1 von p mit g 1 . Überprüfe durch Einsetzen in die entsprechende Gleichung. c) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte S 2 und T 2 von p und g 2 . d) Zeige, dass für t = 3,25 die zugehörige Gerade g 4 eine Tangente an die Parabel p ist. Berechne die Koordinaten des Berührpunktes und zeichne g 4 ein. e) Gib mögliche Werte für t an, sodass die Gerade Passante an p ist. 17 Gegeben ist der Punkt A (1 | –2) eines Parallelogramms AB n C n D n . Die Punkte B n mit der Abszisse x liegen auf der x-Achse. Der x-Wert der Punkte C n ist um 3 LE kleiner als der von B n , wobei die Punkte C n auf der Gerade g: y = 0,5x + 3 liegen. a) Zeichne g und die Parallelogramme AB n C n D n für x 1 = –2 und x 2 = 5. b) Unter den Parallelogrammen ist für –5 x 5 auch ein Rechteck. Finde mithilfe der Zeichnung den zugehörigen x-Wert, gib die Koordinaten der Eckpunkte des Vierecks an und bestätige rechnerisch, dass ein Rechteck vorliegt. c) Berechne den Flächeninhalt A (x) der Parallelogramme AB n C n D n . d) Für welche Werte von x liegt ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt 116,5 FE (64,5 FE) vor? 18 Gegeben ist die Parabel p mit der Gleichung y = –0,25 (x + 3)2 + 2. a) Zeichne die Parabel und spiegle sie an der x-Achse. b) Ermittle die Gleichung der gespiegelten Parabel p’ und bestätige rechnerisch, dass die Parabeln gemeinsame Nullstellen besitzen. c) Die Gerade g 1 : y = –0,5x + 0,75 ist Tangente an die Parabel p. Bestätige dies durch Rechnung. d) Gib Gleichungen der Geraden g 2 , g 3 und g 4 an, die die Raute ABCD bilden. 19 Prüfe, ob die Funktionsgraphen gemeinsame Punkte haben, und bestimme gegebenenfalls deren Koordinaten. Überprüfe zeichnerisch oder mit dem GTR. a) g: y = –0,5x + 0,75 b) g: y = –2x + 6 c) g: y = – 3 __ 4 x + 4 p: y = 1 __ 2 x 2 + 3 __ 2 x – 3 __ 8 p: y = 0,5 · (x – 3) 2 + 2 p: y = – 1 __ 2 x 2 – 2x + 3 d) g: y = x + 6 e) g: y = 0,2x + 2 f) g: y = 2x – 2 p: y = –x2 – 6x – 4 p: y = –x2 + 4x – 2 p: y = x 2 – 3x + 17 ___ 4 g) p: y = –(x + 1)2 + 4,75 h) p: y = –(x – 3,5)2 + 3 i) p: y = (x – 1)2 + 1 p: y = 1 __ 2 x 2 + 5 __ 2 x + 9 __ 8 p: y = x 2 – 3x + 13 ___ 4 p: y = – 1 __ 2 x 2 + 4x – 5 j) p: y = 1 __ 4 x 2 – 5 __ 4 x + 1 ___ 16 k) p: y = (x + 1)2 – 0,5 l) p: y = –x2 – x + 3,25 p: y = (x – 1)2 – 3,75 p: y = – 1 __ 2 x 2 – 4x – 11 ___ 2 p: y = x 2 + 3x + 3,75 Lösung zu 17 c): A (x) = ( 1 __ 2 x2 + x + 9 __ 2 ) FE 5 6–5 –3 B g 1g 2 p’ g 3 g4 AC D –4 –3 –2 –1 –1 1 1 2 3 2 –2 –3 –5–6–7–8 y x