74 3.5 Themenseite: Bestimmung von π mit der Monte-Carlo-Methode π experimentell bestimmen In Monte-Carlo, einer Stadt im Fürstentum Monaco, steht eines der berühmtesten Spielcasinos der Welt. Spielcasinos sind Orte des Zufalls – und so verwundert es nicht, dass eine mathematische Simulation, bei der Zufallszahlen zum Einsatz kommen, nach dieser Stadt benannt ist. Mit der Monte-Carlo-Methode kannst du zum Beispiel den Flächeninhalt von Kreisen bzw. einen Näherungswert für die Kreiszahl π bestimmen. Die Idee ist, den Flächeninhalt des Kreises gegenüber dem des umschriebenen Quadrats abzuschätzen. Lass dazu Reiskörner zufällig auf das Quadrat regnen. Die Anzahl der Körner, die im Inneren des Kreises liegen, verhält sich zu der Gesamtzahl der Körner wie die Fläche des Kreises zu der des Quadrats. A Kreis = π · r2 A Quadrat = 4 · r2 Die relative Häufi gkeit der Körner (Punkte) im Inneren des Kreises ist also ein Schätzwert für π __ 4 . a) Bastle eine Schachtel mit quadratischer Grundfl äche. Zeichne einen Kreis so ein, dass sein Rand die Quadratseiten berührt. Bestimme einen Näherungswert für π. Führe dazu das Experiment mit 100 Reiskörnern 20-mal durch und berechne den Mittelwert. Beachte: Körner auf der Kreislinie gehören zum Kreis. Tipp: Um dir das Abzählen der Körner zu ersparen, kannst du sie auch wiegen. b) Führe dazu das Zufallsexperiment mit einem Viertelkreis durch und nimm statt Reiskörnern 100 Reißnägel. Was ändert sich in der Berechnung für π? Gib die Abweichung deiner Näherungs lösung vom Taschenrechner-Wert von π in Prozent an. A Kreis _____ A Quadrat = π · r 2 ____ 4 · r2 = π __ 4 r 1 y 1 P 1 x P 2 π mit dem örtlichen Telefonbuch bestimmen In einem Telefonbuch werden die letzten beiden Ziffern der Telefonnummern von x aufeinander folgenden Personen betrachtet (auf die ersten Ziffern muss verzichtet werden, da diese in einem Telefonbezirk einen charakteristischen Wert besitzen, wodurch sie keinen Zufallszahlcharakter mehr besitzen): a) Ermittle von einer beliebigen Seite eines Telefonbuchs aus 40 aufeinander folgenden Telefon nummern 20 Zufallspunkte. b) Bestimme mit diesen Punkten analog zum oben angeführten Experiment einen Näherungswert für π, indem du prüfst, ob die Punkte auf dem Viertelkreis liegen oder nicht. c) Gib die Abweichung deiner Näherungslösung vom Taschenrechnerwert von π an. Person Endziffern der Telefonnummer Daraus resultierender Punkt P 1 …4356 P 1 (0,56 | 0,78) 2 …2778 3 …9214 P 2 (0,14 | 0,07) 4 …1807 … … …