82 4.1 Zusammenhänge am rechtwinkligen Dreieck • Konstruiere mit einem Geometrieprogramm mehrere rechtwinklige Dreiecke AB n C n über der Hypotenuse [AB n ]. Der Winkel α soll dabei das Maß 35° besitzen. • Übertrage die Tabelle in dein Heft und vervollständige die fehlenden Werte. Beschreibe Zusammenhänge, die du entdeckst. • Überprüfe die Zusammenhänge für mindestens einen weiteren Winkel α ≠ 35°. I Gib das Verhältnis der Seitenlängen an. a) sin α b) cos α c) tan α sin β cos β tan β Lösung: a) sin α = s __ u b) cos α = t __ u c) tan α = s __ t sin β = t __ u cos β = s __ u tan β = t __ s Nutze die Messfunktion des Geometrieprogramms. Δ ___ AB n ___ AC n ____ B n C n ____ B n C n : ___ AB n ___ AC n : ___ AB n ____ B n C n : ___ AC n 1 2 … B 1 35° A B 2 C 2C1 Bezogen auf die spitzen Winkel des rechtwinkligen Dreiecks bezeichnet man diejenige Kathete, die dem betrachteten Winkel gegenüber liegt, als Gegenkathete und diejenige, die an dem Winkel anliegt, als Ankathete. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Seitenverhältnisse eindeutig durch die Maße der beiden spitzen Winkel des Dreiecks festgelegt. Dabei sind folgende Verhältnisse jeweils konstant: 1 Das Verhältnis der Längen von Gegenkathete zu Hypotenuse eines spitzen Winkels α nennt man Sinus des Winkelmaßes α (kurz: sin α): Sinus = Länge der Gegenkathete des Winkels ___________________________ Länge der Hypotenuse Beispiel: sin α = a __ c ; sin β = b __ c 2 Das Verhältnis der Längen von Ankathete zu Hypotenuse eines spitzen Winkels α nennt man Kosinus des Winkelmaßes α (kurz: cos α): Kosinus = Länge der Ankathete des Winkels _________________________ Länge der Hypotenuse Beispiel: cos α = b __ c ; cos β = a __ c 3 Das Verhältnis der Längen von Gegenkathete zu Ankathete eines spitzen Winkels α nennt man Tangens des Winkelmaßes α (kurz: tan α) Tangens = Länge der Gegenkathete des Winkels ___________________________ Länge der Ankathete des Winkels Beispiel: tan α = a __ b ; tan β = b __ a Beispiel für γ = 90°: A b α β a c Hypotenuse Gegenkathete von αAnkathete von α Gegenkathete von β Ankathete von β B C Hypotenuse Kathete Kathete Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck: sin α sprich: „Sinus von α“ oder „Sinus α“ cos α sprich: „Kosinus von α“ oder „Kosinus α“ tan α sprich: „Tangens von α“ oder „Tangens α“ s α β u t