90 4.4 Sinus, Kosinus und Tangens untersuchen • Zeichne mit einem dynamischen Geometrieprogramm einen Einheitskreis mit einem beweglichen Punkt P auf der Kreislinie. Zeichne die Gerade OP ein und lege geeignete Strecken fest, sodass du wie in der Abbildung die Werte für cos α und sin α am Punkt P ablesen kannst, sowie am Punkt Q die zugehörigen Werte von tan α. • Bewege den Punkt P auf der Kreislinie. Übertrage die Tabelle in dein Heft und trage die auf eine Nachkommastelle gerundeten Werte ein. • Vergleiche die Werte in der Tabelle und beschreibe Auffälligkeiten. Versuche, Zusammenhänge zu begründen. • Erweitere die Tabelle für negative Winkelmaße –30°, –45°, ... und fi nde weitere Zusammenhänge. α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° cos α sin α tan α 0 1 1 180 – α x 1 y sin αsin (180° – α) cos αcos (180° – α) α Runde gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle. I Löse folgende Gleichungen für α X [–90°; 90°]. a) sin 140° = sin α b) cos α = cos 75° c) cos 67° = sin α Lösung: a) α = 40° b) α = –75° c) α = 23° II Gib alle Winkelmaße α X [–90°; 180°] an, für die Folgendes gilt. a) sin α = 0,5 b) cos α = 0,3 c) sin α = –0,4 d) tan α = –1,75 Lösung: a) α 1 = 30° b) α 1 = –72,5° c) α = –23,6° d) α 1 = –60,3° α 2 = 150° α 2 = 72,5° α 2 = 119,7° Aufgrund der Symmetrie am Einheitskreis gilt für negative Winkelmaße: sin (–α) = –sin α cos (–α) = cos α tan (–α) = –tan α 0 1 1 x 1 y sin α cos α α –α –1 –1 P Q 1 x 1 O y sin α cos α α tan α Bei trigonometrischen Termen können Winkelmaße des II. Quadranten auf solche des I. Quadranten zurückgeführt werden (Supplementbeziehungen). sin (180° – α) = sin α cos (180° – α) = –cos α