191 12 Mithilfe der binomischen Formeln kann man quadratische Terme umformen: a) Berechne. Wende die binomischen Formeln an. 1 (x + y)2 2 (v – w)2 3 (3 + z)2 4 (7 – m)2 5 (2u + v)2 6 (a – 5b)2 7 (4x – 5y)2 8 (p – 3)2 9 (x + y) · (x – y) 10 (x + 3) · (x – 3) 11 (y – 2) · (y + 2) 12 (0,5x – y) · (y + 0,5x) b) Schreibe mithilfe binomischer Formeln als Produkt. 1 x2 + 22x + 121 2 a2 – 26a + 169 3 25 – y2 4 1 + 2x + x2 5 1 __ 4 t 2 – st + s2 6 4a2 – 36a + 81 c) Bestimme die Nullstellen und den Scheitelpunkt der Funktion auf verschiedene Arten. 1 y = (x – 3)2 2 y = (x – 2) · (x + 2) 3 y = (x + 2,5)2 4 y = ( x + 3 __ 4 ) · ( x – 3 __ 4 ) François Viète François Viète (1540–1603) war ein begeisterter französischer Hobbymathematiker, der bis heute weltberühmt ist. Unter anderem entdeckte er den Zusammenhang zwischen den Nullstellen einer quadratischen Funktion und der Normalform der zugehörigen Funktionsgleichung. Dieser Zusammenhang steckt im „Satz von Vieta“, der lateinischen Form seines Nachnamens. • Recherchiere über das Leben von François Viète. • Nenne weitere bedeutende Erkenntnisse des Mathematikers François Viète. Satz von Vieta Besitzt die quadratische Funktion y = x2 + px + q die Nullstellen x1 und x2, so gilt: x1 + x2 = –p und x1 · x2 = q Weiterhin gilt: x2 + px + q = (x – x1) · (x – x2) Mithilfe dieses Satzes kannst du Nullstellen kontrollieren oder auch Nullstellen geschickt erraten. Beispiel: Funktionsgleichung: y = x2 – x – 72 Für p = –1 und q = –72 lassen sich mit der Lösungsformel die Nullstellen x1 = –8 und x2 = 9 bestimmen. Probe mit dem Satz von Vieta: x1 + x2 = –p –8 + 9 = 1 p = –1 x1 · x2 = q (–8) · 9 = –72 q = –72 • Berechne die Nullstellen der Funktionen und kontrolliere die Lösung mithilfe des Satzes von Vieta. 1 y = x2 – 7x + 10 2 y = x2 – 3x – 18 3 y = x2 – 6x – 27 4 y = x2 + 7x – 120 5 y = x2 – 12x – 45 6 y = x2 + 4x – 45 7 y = x2 – 2x – 35 8 y = x2 + 8x + 7 • Gegeben sind die Nullstellen einer verschobenen Normalparabel. Bestimme mithilfe des Satzes von Vieta die Funktionsvorschrift. 1 x1 = –2; x2 = 5 2 x1 = 6; x2 = 18 3 x1 = –7; x2 = 4 4 x1 = 3,5; x2 = –2,5 5 x1 = –1,2; x2 = –3,6 6 x1 = 8; x2 = 0 1. binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. binomische Formel: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 3. binomische Formel: (a + b) · (a – b) = a2 – b2 Nu r z u Pr üf zw ec ke Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs