Grundwissen 4 · (2 + x) – x = –1 I ausmultiplizieren 8 + 4x – x = –1 I zusammenfassen 8 + 3x = –1 I – 8 3x = –9 I : 3 x = –3 = {–3} Zur Lösung einer linearen Gleichung gibt es verschiedene Verfahren: • Systematisches Probieren • Lösen durch die Umkehraufgabe • Lösen mithilfe von Äquivalenzumformungen 3 _____ (x – 2) = 2 _____ (x + 4) ; = \ {–4; 2} 3 _____ (x – 2) = 2 _____ (x + 4) | · (x – 2)(x + 4) 3 · (x + 4) = 2 · (x – 2) … In Termen und Gleichungen können Variablen auch im Nenner eines Bruches stehen. Dabei dürfen keine Zahlen in den Term eingesetzt werden, bei denen der Nenner null wird. Diese Zahlen werden aus der Defi nitionsmenge ausgeschlossen. Zur Lösung multipliziert man die Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner aller vorkommenden Brüche, sodass ohne Brüche weitergerechnet werden kann. 1 2 3 Sollen Zahlenpaare (x | y) zwei lineare Gleichungen gleichzeitig erfüllen, so spricht man von einem linearen Gleichungssystem. Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystem ist sowohl ein Element der Lösungsmenge der ersten als auch der zweiten Gleichung. Bei der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems können folgende drei Fälle auftauchen: 1 Die Geraden schneiden sich. Das lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung. = {(2 | 2)} 2 Die Geraden sind parallel. Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung: = { } 3 Die Geraden sind identisch. Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen: = {(x | y) | y = x + 0,5} I –x – 2y = 3 II y = 2x –x – 2 · (2x) = 3 Einsetzungsverfahren Man löst man eine der Gleichungen nach einer Variable (z. B. y) auf, dann kann man den erhaltenen Term für die Variable in die andere Gleichung einsetzen. I y = 2x – 1 II y = –x + 5 2x – 1 = –x + 5 Gleichsetzungsverfahren Sind beide Gleichungen nach einer Variable (z. B. y) aufgelöst, kann man die Terme gleichsetzen. I 2x – 2y = –5 II 4x + 2y = –7 6x = –12 | : 6 Additionsverfahren Addition beider Gleichungen, wenn vor einer Variable betragsgleiche Koeffi zienten stehen, die ein unterschiedliches Vorzeichen haben. x 1 2 3 y 2 3 1 1 1 2 3 y x2 3 1 1 2 3 y x2 3 einsetzen gleichsetzen 124 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc n r V er la gs