MC A α b h B γ __ 2 c __ 2 A b = 6 cm a = 6 cm α β B C γ __ 2 γ __2 c __ 2 c __ 2 h c b A B C h c a α β c__ 2 c __ 2 γ __ 2 γ __ 2 16 Die Berechnung von Streckenlängen und Winkeln in gleichschenkligen Dreiecken kann man auf die Berechnung in rechtwinkligen Dreiecken zurückführen. Dazu zerlegt man das gleichschenklige Dreieck durch die Symmetrieachse in zwei rechtwinklige Dreiecke. 1.5 Berechnungen an besonderen Dreiecken Ein gleichschenkliges Dreieck ABC wird durch die Symmetrieachse MC in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegt. • Zeige folgende Zusammenhänge: I In einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit der Basis c sind die beiden Schenkel 6 cm lang und es ist γ = 120°. Berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelgrößen. Lösung: Zerlegung entlang von hc in zwei rechtwinklige Teildreiecke. 1 Basislänge c: sin ( γ __ 2 ) = c ___ 2b c = 2b · sin ( γ __ 2 ) c = 2 · 6,0 cm · sin 60° c 10,4 cm II Berechne den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit Basis c = 4,0 cm und β = 64°. Lösungsmöglichkeit: Zerlegung entlang von hc in zwei rechtwinklige Teildreiecke 1 Bestimmung der Höhe hc: tan β = hc __ c __ 2 hc = c __ 2 · tan β hc = 2,0 cm · tan 64° 4,1 cm 2 Bestimmung des Flächeninhalts: ADreieck = 1 __ 2 c · hc ADreieck = 1 __ 2 · 4,0 cm · 4,1 cm = 8,2 cm 2 2 Basiswinkel α und β: α = β (Basiswinkel sind gleich groß.) α + 90° + γ __ 2 = 180° (Winkelsumme im Dreieck) α + 90° + 60° = 180° α = β = 30° 1 sin α = h __ b = cos ( γ __ 2 ) 2 cos α = c ___ 2b = sin ( γ __ 2 ) A α β α = β Basis Sc he nk el Schenkel B C γ Begründe, dass die Überlegungen am gleichschenkligen Dreieck auch für das gleichseitige Dreieck gelten. Erkläre den Zusammenhang am gleichseitigen Dreieck: sin α = h __ a . Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs