Meininger Str. A 71 B 62 A 71 A 73 Tun nel Be rg B ock Suhl Zentrum 105° 47° Dreieck Suhl G ot ha er S tr . 33 00 m h c A c b a B C 47° 105° 50° A A b = 5, 0 cm a = 7,0 cm a = 4,0 cm B B C C 70° 30° 18 1.6 Der Sinussatz für beliebige Dreiecke Zerlegt man ein beliebiges Dreieck entlang einer Höhe in zwei Teildreiecke, so kann man die bekannten Zusammenhänge erkennen: Diesen Zusammenhang nennt man den Sinussatz für beliebige Dreiecke ABC: sin α ____ sin β = a __ b sin α ____ sin γ = a __ c sin β ____ sin γ = b __ c Dabei gilt für stumpfe Winkel α (90° α 180°): sin α = sin (180° – α). Bei Suhl verkürzt der Autobahnabschnitt mit dem Tunnel „Berg Bock“ den ursprünglichen Weg durch das Zentrum bis zur B 62 deutlich. Die Abbildung zeigt eine vereinfachte Darstellung der Begebenheiten bei Suhl. • Bestimme durch eine maßstabsgetreue Zeichnung die Länge des Autobahnabschnitts mit dem Tunnel „Berg Bock“. • Die Skizze mit der eingezeichneten Höhe als Hilfslinie ermöglicht die Berechnung der Seitenlängen eines Dreiecks mithilfe der Sinuswerte in recht winkligen Dreiecken. Berechne die Länge des Autobahnabschnitts. Beschreibe dein Vorgehen. I Berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelmaße im Dreieck ABC. a) b) Lösung: a) ΔABC konstruierbar nach SsW. 1 sin β ____ b = sin α ____ a sin β = b · sin α ____ a sin β = 5,0 cm · sin 50° ______7 cm β 33,2° 2 γ = 180° – 50° – 33,2° = 96,8° 3 c ____ sin γ = a ____ sin α c = sin γ · a ____ sin α c = sin 96,8° · 7,0 cm ______sin 50° 9,1 cm Beachte: Der Sinussatz ist nur dann anwendbar, wenn das Dreieck aus den gegebenen Stücken eindeutig anhand der Kongruenzsätze konstruierbar ist. Das Verhältnis der Sinuswerte zweier Winkelgrößen ist gleich dem Verhältnis der gegenüberliegenden Seitenlängen. b) ΔABC konstruierbar nach WSW. 1 α = 180° – 70° – 30° = 80° 2 b ____ sin β = a ____ sin α b = sin β · a ____ sin α b = sin 30° · 4,0 cm ______sin 80° 2,0 cm 3 c ____ sin γ = a ____ sin α c = sin γ · a ____ sin α c = sin 70° · 4,0 cm ______sin 80° 3,8 cm A B C c b a α β h c γ 1 sin α = hc __ b hc = b · sin α 2 sin β = hc __ a hc = a · sin β Gleichsetzen der Terme liefert: b · sin α = a · sin β bzw. sin α ____ sin β = a __ b Nu r z u Pr üf zw ck en Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs