A c C B 7,0 cm 5,0 cm γ A 8 cm 6 cm 4 c m C B α γ β Beachte den Zusammenhang von Seite 11: (sin α)2 + (cos α)2 = 1 22 1.7 Der Kosinussatz für beliebige Dreiecke Wenn bei einem Dreieck ABC zwei Seiten längen und die Größe des eingeschlossenen Winkels gegeben sind, dann lässt sich die dritte Seitenlänge mithilfe des Kosinussatzes berechnen: a2 = b2 + c2 – 2bc · cos α b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β c2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ Mit der Idee der Herleitung des Sinussatzes lassen sich auch Zusammenhänge zwischen den Kosinuswerten der Winkelmaße und den Seitenlängen in einem beliebigen Dreieck ABC fi nden. • Begründe, dass der Sinussatz nicht anwendbar ist, wenn ein Dreieck nach den Kongruenzsätzen SSS und SWS festgelegt ist. • Erläutere die folgende Herleitung. cos α = s __ b s = b · cos α t = c – b · cos α sin α = hc __ b hc = b · sin α Nach Pythagoras gilt im ΔCDB: a2 = hc 2 + t2 a2 = (b · sin α)2 + (c – b · cos α)2 = b2 · (sin α)2 + c2 – 2bc · cos α + b2 · (cos α)2 = b2 · ( (sin α)2 + (cos α)2 ) + c2 – 2bc · cos α a2 = b2 + c2 – 2bc · cos α • Zeige ebenso die folgenden Zusammenhänge: 1 b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β 2 c2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ I Gegeben ist das Dreieck ABC mit a = 5,0 cm, b = 7,0 cm und γ = 65°. Bestimme c. Lösung: ΔABC ist konstruierbar nach SWS. Nach dem Kosinussatz gilt: c2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ c2 = (5,0 cm)2 + (7,0 cm)2 – 2 · 5,0 cm · 7,0 cm · cos 65° 44,42 cm2 c = √ _________ 44,42 cm2 6,7 cm II Bestimme im Dreieck ABC mit a = 6 cm, b = 4 cm und c = 8 cm alle Winkelgrößen. Lösung: ΔABC ist konstruierbar nach SSS. 1 Kosinussatz: c2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ cos γ = – c 2 – a2 – b2 ________ 2ab cos γ = – (8 cm) 2 – (6 cm)2 – (4 cm)2 ___________________ 2 · 6 cm · 4 cm γ 104,5° 2 Sinussatz: sin α ____ a = sin γ ____ c sin α = a · sin γ ____ c sin α = 6 cm · sin 104,5° ________8 cm α 46,6° 3 Winkelsumme: β = 180° – 104,5° – 46,6° = 28,9° Merktipp: Vom Satz des Pythagoras zweimal das Produkt der bekannten Seiten und des Kosinus des zugehörigen Winkels zur gesuchten Seite abziehen Beachte: c 0. Man kann mit jedem Teil des Kosinussatzes beginnen. b a A c B C α β γ A D C Bc b s t a α β h c Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs