3,8 km G S 5,2 km A 108° D A B C x c α β β 1 1 –1 –1 y x α 180° – α 24 1.7 Der Kosinussatz für beliebige Dreiecke 7 Die direkte Verbindungsstraße von einer Autobahnabfahrt (A) zu einem Gewerbegebiet (G) soll das Stadtzentrum (S) vom Lkw-Verkehr entlasten. a) Berechnen Sie die Länge der Verbindungsstraße ___ AG. b) Konstruieren Sie das Dreieck SAG in einem geeigneten Maßstab und geben Sie diesen an. 8 Paul hat folgende Aufgabe mithilfe des Kosinussatzes bearbeitet. Sein Ergebnis stimmt nicht. Finde den Fehler und korrigiere ihn. Gegeben : Dreieck ABC mit a = 8 cm; b = 5,5 cm ; c = 6,2 cm Gesucht: β Lösung: b2 = a2 + c2 – 2ac · cos β 5,52 = 82 + 6,22 – 2 · 8 · 6,2 · cos β 30,25 = 64 + 38,44 – 4920,32 · cos β cos β 0,015 β 89,1° 9 In einem Dreieck ist eine Seite 4,6 cm und eine andere 4,1 cm lang. Der von ihnen eingeschlossene Winkel beträgt 75°. Berechnen Sie die Länge der dritten Seite und die Größe der beiden anderen Innenwinkel. 10 Ein dreieckiges Blumenbeet wird von Rändern der Längen 4,80 m, 3,80 m und 2,80 m begrenzt. Berechne die Größe der Winkel, die das Beet einschließt. 11 a) Begründe: cos (180° – α) = –cos α. b) Zeige die Gültigkeit des Kosinussatzes mithilfe einer geeigneten Skizze für ein stumpfwinkliges Dreieck. c) Zeige, dass in jedem spitzwinkligen Dreieck die Summe der Flächeninhalte von Quadraten über zwei Seiten stets größer ist als der Flächen inhalt des Quadrats über der dritten Seite. 12 Berechne in der abgebildeten Figur die Länge der Strecke x für c = 6,0 cm, α = 72° und β = 42°. 13 Berechne die nicht angegebenen Seitenlängen, Winkelmaße sowie die Längen der Diagonalen im konvexen Viereck ABCD. a) a = 5,0 cm; b = 4,5 cm; c = 1,8 cm; d = 3,8 cm; α = 80° b) a = 15 cm; b = 20 cm; c = 13 cm; d = 10 cm; β = 72° c) a = 8,6 cm; b = 7,4 cm; c = 9,8 cm; d = 8,8 cm; e = 7,7 cm In einem konvexen Viereck verlaufen die Diagonalen im Innern des Vierecks. Nu r z u Pr üf zw e ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs