26 1.8 Der Flächeninhalt von beliebigen Dreiecken Jedes Dreieck kann man entlang einer Höhe in zwei rechtwinklige Teildreiecke zerlegen. Im nebenstehenden Dreieck gilt insbesondere: ADreieck = 1 __ 2 c · hc Im Dreieck ADC gilt: sin α = hc __ b hc = b · sin α Eingesetzt ergibt sich: ADreieck = 1 __ 2 c · b · sin α Allgemein gilt für den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC: A = 1 __ 2 b · c · sin α = 1 __ 2 a · c · sin β = 1 __ 2 a · b · sin γ Im Internet kann man Sonnensegel bestellen, die man im Garten als Schattenspender aufspannen kann. Ein Händler bietet dabei ein Segel in Form eines gleichseitigen Dreiecks mit einer Seitenlänge von 4,5 m an. • Skizziere das Dreieck und zerlege es in zwei rechtwinklige Dreiecke. • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks auf zwei verschiedene Arten, indem du … 1 den Sinussatz verwendest. 2 den Satz von Pythagoras nutzt. I Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seitenlängen a = 42 mm, b = 26 mm und den Winkeln α = 77° und β = 37°. Lösung: Bestimmen des Winkels γ (hier mit Innenwinkelsatz): γ = 180° – 77° – 37° = 66° ADreieck = 1 __ 2 a · b · sin γ ADreieck = 1 __ 2 · 42 mm · 26 mm · sin 66° 499 mm 2 II Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seitenlängen a = 12,3 cm, b = 8,4 cm und c = 6,5 cm. Lösung: Bestimmen eines Winkels (hier mithilfe des Kosinussatzes): b2 = a2 + c2 – 2a · c · cos β cos β = – b 2 – a2 – c2 ________2ac cos β = (8,4 cm) 2 – (12,3 cm)2 – (6,5 cm)2 _________________________ –2 · 12,3 cm · 6,5 cm 0,77 β 39,6° ADreieck = 1 __ 2 a · c · sin β ADreieck = 1 __ 2 · 12,3 cm · 6,5 cm · sin 39,6° 25,5 cm 2 A D C Bc b a α h c Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs