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40 2.1 Potenzen und Wurzeln Ein Gerücht macht die Runde. Stell dir vor, deine Freundin erzählt dir in der Schule um 8.00 Uhr ein Gerücht. Du ﬁ ndest das Gerücht so spannend, dass du es bis 8.30 Uhr drei weiteren Mitschülern erzählst. Diese Mitschüler erzählen das Gerücht bis 9.00 Uhr wieder drei Personen, die das Gerücht noch nicht kennen. So geht es im Halb-Stunden-Rhythmus immer weiter. • Bestimme die Anzahl der Mitschüler, die das Gerücht um 11.00 Uhr kennen. • Wie lange dauert es, bis deine ganze Schule das Gerücht gehört hat? Ein Produkt aus n gleichen Faktoren a kann man als Potenz an schreiben. Bei der Potenz an = c heißt a Basis, n Exponent und c Potenzwert. Große und kleine Zahlen werden häuﬁ g mit abgetrennten Zehnerpotenzen in der Form a · 10n mit 1 a 10 geschrieben. Für Potenzen gilt: a0 = 1 a1 = a a–n = 1 __ an Rechengesetze für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten m, n und … gleichen Basen: gleichen Exponenten: am · an = am + n an · bn = (a · b)n am : an = am – n an : bn = (a : b)n Potenzieren von Potenzen: (am)n = am · n Radizieren ist eine Umkehroperation des Potenzierens: n √ __ x = x 1 __ n . I a) Schreibe mithilfe von abgetrennten Zehnerpotenzen. 1 490 000 000 000 000 2 0,0000000000182 b) Schreibe ohne Zehnerpotenz. 1 1,08 · 109 2 6,29 · 10–8 Lösung: a) 1 490 000 000 000 000 = 4,9 · 1014 2 0,0000000000182 = 1,82 · 10–11 b) 1 1,08 · 109 = 1 080 000 000 2 6,29 · 10–8 = 0,0000000629 II Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze. a) a4 · a–7 · a2 b) b–14 : b5 c) ( (c5)–6 ) –2 d) ( a 3 · b–2 ______ c–5 · d4 ) –4 · ( c 8d–2 ____ a6b ) 3 Lösung: a) a4 · a–7 · a2 = a4 + (–7) + 2 = a–1 = 1 __ a b) b –14 : b5 = b–14 – 5 = b–19 c) ( (c5)–6 ) –2 = c5 · (–6) · (–2) = c60 d) ( a 3 · b–2 ______ c–5 · d4 ) –4 · ( c 8d–2 ____ a6b ) 3 = a –12b8 _____ c20d–16 · c 24d–6 _____ a18b3 = a–12 – 18b8 – 3c24 – 20d–6 – (–16) = a–30b5c4d10 Möglichkeiten mit dem Taschenrechner: √ __ x für die Quadratwurzel; y √ __ x , x √ __ oder x1/y für beliebige Wurzeln Statt Radizieren sagt man auch Wurzelziehen. Erkläre den Unterschied zwischen 4 · 6 und 64. Was ist richtig: am · am = a2m oder am · am = (a · a)m? Erkläre. Nu zu P rü fzw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn r V er la gs

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40 2.1 Potenzen und Wurzeln Ein Gerücht macht die Runde. Stell dir vor, deine Freundin erzählt dir in der Schule um 8.00 Uhr ein Gerücht. Du ﬁ ndest das Gerücht so spannend, dass du es bis 8.30 Uhr drei weiteren Mitschülern erzählst. Diese Mitschüler erzählen das Gerücht bis 9.00 Uhr wieder drei Personen, die das Gerücht noch nicht kennen. So geht es im Halb-Stunden-Rhythmus immer weiter. • Bestimme die Anzahl der Mitschüler, die das Gerücht um 11.00 Uhr kennen. • Wie lange dauert es, bis deine ganze Schule das Gerücht gehört hat? Ein Produkt aus n gleichen Faktoren a kann man als Potenz an schreiben. Bei der Potenz an = c heißt a Basis, n Exponent und c Potenzwert. Große und kleine Zahlen werden häuﬁ g mit abgetrennten Zehnerpotenzen in der Form a · 10n mit 1 a 10 geschrieben. Für Potenzen gilt: a0 = 1 a1 = a a–n = 1 __ an Rechengesetze für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten m, n und … gleichen Basen: gleichen Exponenten: am · an = am + n an · bn = (a · b)n am : an = am – n an : bn = (a : b)n Potenzieren von Potenzen: (am)n = am · n Radizieren ist eine Umkehroperation des Potenzierens: n √ __ x = x 1 __ n . I a) Schreibe mithilfe von abgetrennten Zehnerpotenzen. 1 490 000 000 000 000 2 0,0000000000182 b) Schreibe ohne Zehnerpotenz. 1 1,08 · 109 2 6,29 · 10–8 Lösung: a) 1 490 000 000 000 000 = 4,9 · 1014 2 0,0000000000182 = 1,82 · 10–11 b) 1 1,08 · 109 = 1 080 000 000 2 6,29 · 10–8 = 0,0000000629 II Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze. a) a4 · a–7 · a2 b) b–14 : b5 c) ( (c5)–6 ) –2 d) ( a 3 · b–2 ______ c–5 · d4 ) –4 · ( c 8d–2 ____ a6b ) 3 Lösung: a) a4 · a–7 · a2 = a4 + (–7) + 2 = a–1 = 1 __ a b) b –14 : b5 = b–14 – 5 = b–19 c) ( (c5)–6 ) –2 = c5 · (–6) · (–2) = c60 d) ( a 3 · b–2 ______ c–5 · d4 ) –4 · ( c 8d–2 ____ a6b ) 3 = a –12b8 _____ c20d–16 · c 24d–6 _____ a18b3 = a–12 – 18b8 – 3c24 – 20d–6 – (–16) = a–30b5c4d10 Möglichkeiten mit dem Taschenrechner: √ __ x für die Quadratwurzel; y √ __ x , x √ __ oder x1/y für beliebige Wurzeln Statt Radizieren sagt man auch Wurzelziehen. Erkläre den Unterschied zwischen 4 · 6 und 64. Was ist richtig: am · am = a2m oder am · am = (a · a)m? Erkläre. Nu zu P rü fzw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn r V er la gs
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