46 2.3 Potenzfunktionen der Form y = xn und ihre Eigenschaften Zeichne mit einem Computerprogramm die Graphen der Funktionen y1 = x 2, y2 = x 3, y3 = x 4 und y4 = x 5 in ein Koordinatensystem. • Betrachte die Darstellungen und stelle Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Funktionen heraus. • Gib gemeinsame Punkte der Funktionen an. • Zeichne die Funktionen y5 und y6 jeweils in ein Schaubild und beschreibe die Auswirkungen des Koeffi zienten a auf den Graphen. 1 y 1 x 2 3 4 5 6 –1–2 21 y5 = a · x 3 a X {–2; –1; 1; 2} 2 y6 = a · x 4 a X {–2; –1; 1; 2} x –2 –1 –0,75 –0,5 0 0,5 … y = x3 –8 –1 –0,42 –0,13 0 –0,13 … Eine Funktion der Form y = a · xn (n X ) heißt Potenzfunktion (n-ten Grades). Die Graphen der Funktionen y = a · xn (n X ) bilden Parabeln n-ter Ordnung. Eigenschaften der Parabeln von Potenzfunktionen mit a 0 und … Für a 0 wird die zugehörige Parabel der Potenzfunktion mit a 0 an der x-Achse gespiegelt. 1 geradem Exponenten: 2 ungeradem Exponenten: Der Funktionsgraph verläuft … • symmetrisch zur y-Achse. • durch (0 | 0). • durch den I. und II. Quadranten. Der Funktionsgraph verläuft … • punktsymmetrisch zu (0 | 0). • durch (0 | 0). • durch den I. und III. Quadranten. Eine Funktion kannst du darstellen als Gleichung, in einer Wertetabelle, in einem Graphen oder mittels einer verbalen Beschreibung. Statt y = xn schreibt man bei Funktionen auch f (x) = xn. Erinnere dich: I Stelle die Funktion y = x3 in einer Wertetabelle und grafi sch dar. Lösung: Im Bereich von –1 x 1 ändert sich der Verlauf des Graphen der Potenzfunktion besonders stark. Berechne deshalb möglichst viele Wertepaare in diesem Bereich und zeichne hier genau. y x I. Quadrant IV. Quadrant II. Quadrant III. Quadrant 1 y 1 x –1 –2 2 –1 Beschreibe die Eigenschaften der Parabel von Potenzfunktionen mit a 0 wie im Merkwissen. Begründe, dass man in Wertetabellen von Potenzfunktionen der Form y = a · xn die Werte nur für x 0 oder x 0 berechnen muss. Nu r z u Pr üf zw ck en Ei ge nt um d es C .C .B uc h er V er la gs