11 2 3 4 –1–2–3 x y 1 1 2 3 4 2–1–2 x y 0 a 1: y = 2 · ( 1 __ 3 ) x 54 2.5 Wachstum und Zerfall Plitsch Platsch Im Land Oceanien gibt es zwei Ferienjobs zum Fischfang. Die Pinguine Plitsch und Platsch haben verschiedene Angebote angenommen: • Lege eine Wertetabelle an und bestimme, wie viel Lohn jeder Pinguin in jeder Woche bekommt. • Stelle den Verlauf der Löhne auch zeichnerisch in einem Koordinatensystem dar. • Wer hat deiner Meinung nach das bessere Angebot zum Ferienjob angenommen? Begründe deine Antwort. Plitsch 6 Wochen Arbeit Lohn für die 1. Woche: 10 O$* Jede weitere Woche erhöht sich der Lohn um 4 O$*. Platsch 6 Wochen Arbeit Lohn für die 1. Woche: 2 O$* In jeder Woche verdoppelt sich der Lohn. Graph einer Exponentialfunktion: a 1: y = 2 · 3x Es lassen sich verschiedene Wachstumsvorgänge unterscheiden. Zwei wichtige Wachstumsvorgänge sind: 1 lineares Wachstum 2 exponentielles Wachstum In gleichen Zeiträumen nehmen die Werte um den gleichen Summanden zu. Die zugehörige Funktion ist eine lineare Funktion: y = m · x + b. Der y-Achsenabschnitt b ist somit der Startwert zum Zeitpunkt 0, die Steigung m gibt die Änderung während einer Einheit an. Der Graph ist eine Gerade. In gleichen Zeiträumen werden die Werte mit dem gleichen Faktor vervielfacht. Die zugehörige Funktion ist eine Exponentialfunktion: y = b · ax. b gibt den Startwert zum Zeitpunkt 0 an, a den Faktor der Vervielfachung (a 1) während einer Einheit. Der Graph der Funktion ist eine immer stärker ansteigende Kurve. Für Wachstumsvorgänge gilt: Auch Zerfallsoder Abnahmevorgänge lassen sich mit linearem bzw. exponentiellem Wachstum beschreiben: lineares Wachstum: m 0 lineare Abnahme: m 0 exponentielles Wachstum: a 1 exponentielle Abnahme: 0 a 1 I Stelle eine Funktionsgleichung für das exponentielle Wachstum auf. x 0,0 0,5 1,0 1,5 y 10,00 15,00 22,50 33,75 x 0 1 2 3 y 5 9 13 … x 0 1 2 3 y 2 6 18 … x 0,0 0,5 1,0 1,5 y 10,00 15,00 22,50 33,75 + 1 (eine Einheit) y = 10 · 2,25x b · 22,50 _____ 10,00 = 2,25 + 1 + 1 + 4 · 3 + 1 + 1 + 4 · 3 + 1 + 1 + 4 · 3 Lösung: * O$: Ocean-Dollar Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs