82 3.4 Empirisches Gesetz der großen Zahlen Ein gezinkter Würfel ist einer, bei dem eine bestimmte Zahl mit einer höheren Wahrscheinlichkeit auftritt als die anderen Zahlen. • Nora zeichnet das links abgebildete Würfelnetz auf festes Papier und klebt eine 20-ct-Münze auf die Innenseite der Augenzahl 1. Gib an, welche Augenzahl Nora mit diesem Würfel durchschnittlich am häufi gsten (am seltensten) werfen wird. • Beschreibe ein Experiment zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten der Augenzahlen eines Würfels. Worauf musst du achten? • Finde verschiedene Möglichkeiten, wie du selbst einen Laplace-Würfel so verändern könntest, dass daraus ein gezinkter Würfel wird. 2,5 cm Empirisches Gesetz der großen Zahlen Wiederholt man ein Zufallsexperiment immer wieder, so stabilisiert sich die relative Häufi gkeit eines Ergebnisses mit zunehmender Anzahl an Durchführungen um einen festen Wert. Dieser ist ein guter Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Ergebnisses. Beispiel: Eine 1-f-Münze wird mehrmals geworfen. Anzahl der Würfe H (Wappen) H (Zahl) h (Wappen) h (Zahl) 10 7 3 70 % 30 % 100 42 58 42 % 58 % 1000 514 486 51 % 49 % 10 000 4955 5045 50 % 50 % I In einer Urne liegen zusammen 20 rote, blaue und gelbe Kugeln. Die jeweilige Anzahl ist nicht bekannt. Es wird 1000-mal eine Kugel entnommen, deren Farbe notiert und die Kugel anschließend zurückgelegt. Gib an, wie viele Kugeln jeder Farbe die Urne wahrscheinlich enthält. Lösung: Relative Häufi gkeiten: h (rot) = 411 _____ 1000 = 0,411 = 41,1 %; 41,1 % von 20 sind 8,22 8 h (blau) = 535 _____ 1000 = 0,535 = 53,5 %; 53,5 % von 20 sind 10,7 11 h (gelb) = 54 _____ 1000 = 0,054 = 5,4 %; 5,4 % von 20 sind 1,08 1 Die Urne enthält also wahrscheinlich 8 rote, 1 gelbe und 11 blaue Kugeln. Stimmt das? Eine Münze wird 1000-mal geworfen. Sie zeigt in 482 Fällen Wappen, sonst Zahl. Dann ist sie keine Laplace-Münze. Begründe, dass die Urne im Beispiel I auch 10 blaue Kugeln enthalten könnte. Wie viele rote und gelbe Kugeln enthielte sie dann wohl? „Empirisch“ bedeutet auf Erfahrung beruhend. Um das Gesetz der großen Zahlen anwenden zu dürfen, sollte das Zufallsexperiment mindestens 1000-mal durchgeführt werden. Farbe rot blau gelb Anzahl 411 535 54Nu r z u Pr üf zw ec k n Ei ge nt um d es C .C .B uc ne r V er la gs