86 3.6 Pfadregeln Das abgebildete Baumdiagramm soll veranschaulichen, ob bei einem Zufalls experiment die Zahl 4 auftritt oder nicht. • Beschreibe das abgebildete Baumdiagramm mit eigenen Worten. Gib die Bedeutung der Zahlen an den einzelnen Zweigen an. • Nenne mindestens einen Sachzusammenhang, der zum abgebildeten Baumdiagramm passen könnte. • Beschreibe das Ereignis E, das zu dem rot gezeichneten Ast passt, und bestimme dessen Wahrscheinlichkeit P (E). • Formuliere eine Regel, wie man die Wahrscheinlichkeit eines Astes in einem Baumdiagramm bestimmen kann. Um in einem Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeiten darzustellen, die zu einem Pfad gehören, schreibt man diese direkt an den Pfad. Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse lassen sich dann wie folgt bestimmen: 1. Pfadregel: Jedem Ergebnis entspricht genau ein Pfad im Baumdiagramm. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird berechnet, indem alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads miteinander multipliziert werden. Beispiel: Aus einer Urne mit drei weißen und zwei schwarzen Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln gezogen. Die gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt. 2. Pfadregel: Gehören zu einem Ereignis mehrere Ergebnisse, so müssen die Pfadwahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse addiert werden, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu berechnen. P („eine schwarze und eine weiße Kugel“) = P (ws) + P (sw) = 3 ___ 10 + 3 ___ 10 = 6 ___ 10 Ein Zufallsexperiment, das mehrmals nacheinander durchgeführt wird, heißt mehrstufi g. Beim „Ziehen mit Zurücklegen“ verändern sich die Wahrscheinlichkeiten nicht. blau gelb blau gelb blau gelb 4 7 4 7 3 7 3 7 4 7 3 7 5 6 nicht 4 nicht 4 4 4 nicht 44 5 6 1 6 5 6 1 6 1 6 I Aus einer Urne zieht man zwei Kugeln mit Zurücklegen. Zeichne ein Baumdiagramm. Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen zweier gleicher Kugeln. Lösung: P („zwei gleichfarbige Kugeln“) = P (bb) + P (gg) = 16 ___ 49 + 9 ___ 49 = 25 ___ 49 P (bb) = 4 __ 7 · 4 __ 7 = 16 ___ 49 P (gg) = 3 __ 7 · 3 __ 7 = 9 ___ 49 P (ww) = 3 __ 5 · 1 __ 2 = 3 ___ 10 = 30 % P (ws) = 3 __ 5 · 1 __ 2 = 3 ___ 10 = 30 % P (sw) = 2 __ 5 · 3 __ 4 = 3 ___ 10 = 30 % P (ss) = 2 __ 5 · 1 __ 4 = 1 ___ 10 = 10 % w s w s w s 3 __ 5 2 __ 5 2 __ 4 = 1 __ 2 1 __ 2 3 __ 4 1 __ 4 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs