90 3.7 Wahrscheinlichkeiten im Alltag Simon ist mit seiner Freundin Tessa auf dem Volksfest und möchte ihr eine Rose schießen. Seine Trefferwahrscheinlichkeit beträgt bei jedem Schuss 60 %. Sobald er eine Rose getroffen hat, hört er auf, spätestens jedoch nach dem vierten Schuss. • Zeichne ein Baumdiagramm, das Simons Zufallsexperiment beschreibt. Beschrifte die Pfade mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. • Berechne mithilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass Simon beim ersten (beim zweiten, beim dritten, beim vierten) Schuss trifft. • Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass Simon spätestens beim vierten Schuss trifft. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann man viele Situationen mit dem Ziehen von Kugeln aus einer Urne vergleichen. Das Ziehen einer erwünschten Kugel wird dabei als Treffer bezeichnet. Man unterscheidet zwei Situationen: 1. Ziehen mit Zurücklegen: Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt bei jedem Zug gleich. Beispiel: Werfen eines Laplace-Würfels; Treffer T: 5 und 6 Kugel-Simulation: Wiederholtes Ziehen mit Zurücklegen einer Kugel aus einer Urne, die zwei weiße und vier schwarze Kugeln enthält; Treffer T: weiße Kugel. Wahrscheinlichkeit, dass zum ersten Mal im 3. Wurf eine weiße Kugel erscheint: P („erster Treffer im 3. Versuch“) = 4 __ 6 · 4 __ 6 · 2 __ 6 = 4 ___ 27 15 % 2. Ziehen ohne Zurücklegen: Die Trefferwahrscheinlichkeit verändert sich bei jedem Zug. Beispiel: Ziehen aus einer Lostrommel, die vier Nieten und einen Gewinn enthält; Treffer T: Gewinn Kugel-Simulation: Wiederholtes Ziehen ohne Zurücklegen einer Kugel aus einer Urne, die vier weiße und eine schwarze Kugel enthält; Treffer T: schwarze Kugel. Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn im dritten Versuch gezogen wird: P („erster Treffer im 3. Versuch“) = 4 __ 5 · 3 __ 4 · 1 __ 3 = 1 __ 5 = 20 % Das Vergleichen mit dem Ziehen von Kugeln nennt man Simulieren. Kein Treffer im 1. Versuch Kein Treffer im 1. Versuch Kein Treffer im 2. Versuch Kein Treffer im 2. Versuch Treffer im 3. Versuch Treffer im 3. Versuch I Vier Schmerzpatienten bekommen dasselbe Schmerzmittel verabreicht, das erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % wirkt. a) Gib an, ob es sich hier um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen handelt. Begründe. b) Zeichne ein Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei genau drei der Patienten wirkt. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Medikament bei niemandem Wirkung zeigt. Erster Treffer im 3. Versuch Erster Treffer im 3. Versuch 4 6 2 6 4 5 4 4 = 1 1 5 T schwarzT weiß T T T T 3 4 1 4 T TT 2 3 1 3 T T T T 2 6 T T 4 6 2 6 T T 4 6 2 6 T T 4 6 2 6 T T 4 6 2 6 4 6 2 6 4 6 T 3 3 = 1 1 T Nu r z u Pr üf zw ck en Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs