209 A B C D E B C 2,5 m 3 m 3,3 m 2,2 m 2,7 m 4,1 m 1,3 m1,7 m 1,3 m D E F A 10 Die grüne Fläche stellt ein Grundstück dar. Um dessen Fläche zu vermessen, wurde zwischen den Eckpunkten A und D eine Diagonale als Standlinie gezogen. Zusätzlich w urden von den restlichen Eckpunkten Lote auf diese Standlinie gefällt. a) Erkläre, warum man mit dieser Flächenzerlegung die Grundstücksfl äche bestimmen kann. Berechne anschließend den Flächeninhalt der grünen Fläche. b) Führe das Verfahren an der roten Fläche durch (Maßstab 1 : 1000). Übertrage die Figur zunächst in dein Heft. Vergleiche deine Lösung mit der deines Nachbarn. Wie erklärst du dir mögliche Abweichungen? Der Satz von Pick Der österreichische Mathematiker Georg Alexander Pick (1859 – 1942) hat eine Formel gefunden, um den Flächeninhalt von Vielecken zu bestimmen, deren Eckpunkte auf den Gitterpunkten des Koordinatensystems liegen: AVieleck = I + R __ 2 – 1 I steht dabei für die Anzahl der Punkte im Innern des Vielecks und R für die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand. Der Flächeninhalt wird dann in Kästchenfl ächen ausgegeben. Wir überprüfen die Formel zunächst für das abgebildete Rechteck. Wir erhalten 8 innere Punkte (I = 8) und 16 Randpunkte (R = 16). Damit ergibt sich nach der Formel ARechteck = 8 + 16 ___ 2 – 1 = 15. Mit der klassischen Flächenformel für das Rechteck (Länge Breite) ergibt sich dasselbe Ergebnis: 3 5 = 15. Wie kam Pick zu dieser Formel? Auch dies lässt sich gut am Rechteck erklären: Um die inneren roten Punkte lassen sich ganze Kästchen legen. Deswegen werden die inneren Punkte ganz gezählt. Um die schwarzen Punkte auf dem Rand und an den Ecken lassen sich halbe Kästchen legen, deswegen werden die Randpunkte nur halb gezählt. An den Ecken hat man auf diese Weise aber vier Viertel-Kästchen zuviel gezählt, man muss also ein ganzes Kästchen abziehen. Somit gilt: ARechteck = I + R __ 2 – 1 • Überprüfe die Formel auch für das rote Dreieck. Erhältst du dasselbe Ergebnis wie bei der klassischen Formel für Dreiecke? • Bestimme den Flächeninhalt des gelben Vierecks. Welche Bestimmungsmethode ist geschickter: Die Formel von Pick oder die Zerlegung bzw. Ergänzung des Vierecks? Du kannst deine Standlinie frei wählen, am besten ist aber eine lange Diagonale. Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs