145 I Ein Schmerzmittel wirkt erfahrungsgemäß in 80 % aller Fälle. Ein Arzt verschreibt dieses Medikament drei Patienten zum ersten Mal. a) Zeichne ein Baumdiagramm zum Sachverhalt. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei genau zwei der Betroffenen wirkt. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Medikament bei niemandem Wirkung zeigt. d) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei mindestens einem Patienten wirkt. Lösung: a) W: „Das Medikament wirkt.“ b) P („Medikament wirkt bei genau zwei Patienten.“): rote Pfade in a) P (WW __ W) + P (W __ WW) + P ( __ WWW) = 0,8 · 0,8 · 0,2 + 0,8 · 0,2 · 0,8 + 0,2 · 0,8 · 0,8 = 3 · 0,82 · 0,2 = 0,384 = 38,4 % c) P („Medikament wirkt bei niemandem.“): blauer Pfad in a) P ( __ W __ W __ W) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,23 = 0,008 = 0,8 % d) P („Medikament wirkt bei mindestens einem Patienten.“) = 1 – P („Medikament wirkt bei niemandem.“) = 1 – 0,008 = 0,992 = 99,2 % II In einer Klasse mit 30 Schülern wird jede Woche ein Schüler für den Tafeldienst ausgelost. Wer einmal Tafeldienst hatte, wird von der Liste gestrichen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Simon in der dritten Woche Tafeldienst hat. Zeichne ein zugehöriges Baumdiagramm. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Simon spätestens in der dritten Woche Tafeldienst hat. Lösung: a) S: „Simon wird für den Tafeldienst ausgelost.“ P („Simon wird in der 3. Woche ausgelost.“): roter Pfad im Baumdiagramm P ( __ S __ S S) = 29 ___ 30 · 28 ___ 29 · 1 ___ 28 = 1 ___ 30 = 0,0 __ 3 3 % b) P („Simon ist spätestens in der 3. Woche dran.“): blaue Pfade im Baumdiagramm P (S) + P ( __ S S) + P ( __ S __ S S) = 1 ___ 30 + 29 ___ 30 · 1 ___ 29 + 1 ___ 30 = 1 ___ 10 = 0,1 = 10 % Denke an die Gegenwahrscheinlichkeit: P(E) + P( __ E) = 1 Wenn Simon Tafeldienst hatte, kann der Pfad enden. Es ist unmöglich, dass er beim nächsten Mal gezogen wird. W W Pfad für keine Wirkung bei einem Patienten Pfade für Wirkung bei genau zwei Patienten 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 W W WW W W W W WW W W S 1. Woche 2. Woche 3. Woche S S S S S 1 30 29 30 28 29 27 28 1 28 1 29 Nu zu r P rü fzw ec ke n Ei ge nt um d s C .C . B uc hn er V er la gs