13 Tipp: Eine Höhe kann auch außerhalb eines Dreiecks verlaufen: Leon: „Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks sind alle gleich lang.“ Richtig? Niki: „Die Höhen eines Dreiecks liegen immer innerhalb des Dreiecks.“ Stimmt das? Moritz: „Im gleichschenkligen Dreieck ist die Winkelhalbierende durch den Scheitelwinkel gleich der Höhe auf die Basis.“ Hat er Recht? Begründe. 1 Zeichne die Dreiecke in dein Heft und bestimme den Schnittpunkt zweier Höhen. a) A (–6 | –1); B (9 | 2); C (2 | 11) b) A (–2 | –5); B (–2 | 0); C (–8 | 3) c) A (–6 | 2); B (–2 | –4); C (1 | –2) d) A (–5 | 1); B (2 | –2); C (4 | 4) 2 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A (2 | 4), B (11 | 2) und C (3,5 | 11). a) Zeichne die Mittelsenkrechte mb. b) Zeichne die Seitenhalbierende sc. c) Gib die Koordinaten des Schnittpunkts der Mittelsenkrechten mb und der Seitenhalbierenden sc an. 3 Konstruiere ein Dreieck aus den vorgegebenen Maßen. a) b = 4 cm; c = 6 cm; sc= 4,5 cm b) b = 3,5 cm; a = 4,1 cm; ha = 3,5 cm c) a = 6,4 cm; β = 55°; sa= 6 cm d) ha= 4,2 cm; sa= 4,5 cm; b = 6,3 cm e) ΔABC ist gleichseitig; ha = 3,7 cm f) a = b; ha= 4,2 cm; c = 4,5 cm g) b = c; sc = 3,9 cm; sa = 6 cm h) γ = 90°; c = 5,4 cm; hc = 2,8 cm 4 Zeichne in einem Dreieck ABC alle Höhen ein (vgl. Randspalte). Die Lotfußpunkte heißen D, E und F. Verbinde sie zu einem Dreieck DEF. Untersuche, welche besonderen Linien die Höhen des Dreiecks ABC im Dreieck DEF sind. 5 Von einem Dreieck kennst du die Punkte A (1 | 1), B (9 | 7) und W (7 | 8). W ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden wα und wβ des Dreiecks ABC. Ermittle durch Zeichnung die Koordinaten des Punktes C. Schwerpunkt eines Dreiecks • Schneide ein beliebiges Dreieck aus einem Pappkarton aus. Zeichne alle Seitenhalbierenden ein. Lege das Dreieck so auf einen Stift, dass eine Seitenhalbierende auf dem Stift zum Liegen kommt. • Was stellst du fest? • Klappt das mit allen Seitenhalbierenden? • Was passiert, wenn du das Dreieck aus dieser besonderen Lage herausdrehst? Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt. Du kannst in diesem Punkt leicht mit der Zirkelspitze einstechen und das Dreieck darauf balancieren. Man nennt diesen Punkt den Schwerpunkt des Dreiecks. • Finde den Schwerpunkt in deinem Dreieck. • Miss bei jeder Seitenhalbierenden die Länge der Strecke vom Schwerpunkt bis zur Ecke bzw. Seitenmitte. Was stellst du fest? A b c h a h ca C B A D E F C B Nu r z ur P rü fzw ec ke n Ei ge nt um d es C. C. B uc hn er V rla gs